Ropi

Rendszeroptimalizálás	Kombinatorikus optimalizálás
BMEVISZMA10	BMEVISZM029
(informatikus MSc hallgatóknak)	(matematikus MSc vagy alkalmazott matematikus MSc hallgatóknak)

2022/2023. második félév

Előadások, előadók
Feladatsorok, előadáson használt anyagok
A tárgy anyaga
Segédanyagok
Tárgykövetelmények
Zárthelyik
Korábbi évek zárthelyi feladatsorai
Hasznos linkek
Új! Információk a beadandó nagy házi feladatokról

Új! A június 1-i pótzárthelyi feladatai és pontozási útmutatója

Előadások, előadók

Előadó:	Időpont:	Helyszín:
Szeszlér Dávid (email: szeszler_KUKAC_cs.bme.hu)	Szerda 10.15 - 12.00	E1B
Wiener Gábor (email: wiener_KUKAC_cs.bme.hu)	Csütörtök 8.15 - 10.00	~~E1B~~ E1A

A szerdai és a csütörtöki előadások anyagai egymástól függetlenek lesznek, egymásra nem épülnek, mindig az előző heti, azonos napon tartott előadás anyagát folytatják. A zárthelyi és a vizsga anyagában természetesen mindkét napon tartott előadások anyaga benne lesz.

Mindegyik előadás második felében önálló feladatmegoldás zajlik.

Feladatsorok, előadáson használt anyagok

Szerdai előadások:

1. hét (2023. március 1.)
2. hét (2023. március 8.), az órán bemutatott példa az Egerváry-algoritmus futására
3. hét (2023. március 22.)
4. hét (2023. március 29.)
5. hét (2023. április 5.)
6. hét (2023. április 19.)
7. hét (2023. április 26.)
8. hét (2023. május 3.)
9. hét (2023. május 10.)
A 10. héten a szerdai órára (2023. május 17-én) nem készült új feladatsor.
11. hét (2023. május 24.)
12. hét (2023. május 31.)
13. hét (2023. június 1.)

Csütörtöki előadások:

Jegyzet a csütörtöki előadások anyagához

2023. március 2.:1. feladatsor
2023. március 9.: folytatjuk a munkát az 1. feladatsorral
2023. március 16.: 2. + 3. feladatsor
2023. március 23.: 4. feladatsor
2023. március 30.: folytatjuk a munkát a 4. feladatsorral
2023. április 13.: 5. feladatsor
2023. április 20.: 6. feladatsor
2023. április 27.: folytatjuk a munkát a 6. feladatsorral
2023. május 4.: 7. feladatsor
2023. május 11.: folytatjuk a munkát a 7. feladatsorral
2023. május 18.: nincs új feladatsor
2023. május 25.: 8. feladatsor
2023. június 1.: ld. a szerdai alkalmaknál

A tárgy anyaga

Ez a tárgy a kombinatorikus optimalizálás néhány területére kíván bevezetést nyújtani. A téma néhány fontos algoritmusának, módszerének és azok korlátainak ismertetése mellett célul tűzi ki, hogy ezek gyakorlati életbeli alkalmazási lehetőségeit is bemutassa. A tárgy által érintett témakörök: lineáris- és egészértékű programozás, közelítő algoritmusok és ütemezési algoritmusok.

A tárgy épít a mérnökinformatikus BSc képzés Bevezetés a számításelméletbe 1, Bevezetés a számításelméletbe 2 és Algoritmuselmélet című tárgyaira és célul tűzi ki, hogy az ezekben megszerzett ismereteket alkalmazza, elmélyítse, azok elméleti hátterét jobban megvilágítsa.

A 2023. tavaszi félévtől kezdve a kari MSc képzés megújult. Ez a Rendszeroptimalizálás tárgy anyagát érdemben nem érintette, csak a tárgy kódja változott és (kis mértékben) a tárgykövetelmények. Így a honlapon szereplő korábbi segédanyagok és zárthelyi feladatsorok továbbra is használhatók a készüléshez.

Segédanyagok

A tárgyhoz kapcsolódó tankönyv:

Jordán Tibor - Recski András - Szeszlér Dávid: Rendszeroptimalizálás, Typotex Kiadó, 2004.

A fenti könyv javított, elektronikus változatban is megvásárolható itt.

A (2004-es, nyomtatott kiadásban) eddig talált, értelemzavaró sajtóhibák listája itt megnézhető. (Ezeket az elektronikus változatban már kijavítottuk.)

A közelítő algoritmusok és ütemezéselmélet részeket tartalmazó elektronikus jegyzet letölthető innen.

Az LP/IP anyagrész végéhez tartozó, "Egészértékű programozás totálisan unimoduláris együtthatómátrixszal" című jegyzet letölthető innen. (Ez az anyagrész szerepel a fenti tankönyvben is, de mivel a tárgy anyaga a könyv megjelenése óta eltelt időben sokat változott, ez a jegyzet jobban illeszkedik a tárgy mostani felépítéséhez.)

A tárgy előadásaiból a 2021. tavaszi félévben, a távoktatás során videófelvétel készült. (Ezek a felvételek csak az órák első felét tartalmazzák, a második, feladatmegoldással töltött részét nem.) Ezek a videók elérhetők a következő linkeken (MS STREAM, edu.bme.hu hozzáféréssel): szerdai előadások anyaga (Szeszlér Dávid), csütörtöki előadások anyaga (Wiener Gábor). Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy ebben a félévben az előadások anyaga a videókon látottól (kis mértékben) eltérhet, illetve annál bővebb is lehet.

Tárgykövetelmények

A félév során egy zárthelyi dolgozat lesz. Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyin legalább 40%-os eredmény elérése (vagyis 60-ból legalább 24 pont megszerzése).

A Rendszeroptimalizálás (BMEVISZMA10) tárgy hallgatói számára lesz ezen kívül két nagy házi feladat is: egy a lineáris- és egészértékű programozás, egy pedig a közelítő- és ütemezési algoritmusok témából. A nagy házi feladatok beadása és azoknak az elfogadása a tárgyból kapható megajánlott jegy megszerzéséhez szükséges (az aláírás megszerzéséhez és a szóbeli vizsgához tehát nem). A Kombinatorikus optimalizálás (BMEVISZM029) tárgy hallgatói számára a nagy házi feladatok beadása nem kötelező, anélkül is kaphatnak megajánlott jegyet.

A tárgyból vizsgajegyet kétféleképpen lehet szerezni: megajánlott jeggyel vagy szóbeli vizsgával.

Megajánlott jegyet az kaphat, aki a zárthelyin legalább 55%-os, vagyis 33 pontos eredményt ér el és - amennyiben a Rendszeroptimalizálás (BMEVISZMA10) tárgy hallgatója - a nagy házi feladatokat beadja és azok elfogadásra kerülnek. Azoknak, akik ezeket teljesítik, a zárthelyin elért eredményük alapján ajánlunk meg vizsgajegyet: 33-41 pontos eredményért elégséges, 42-50 pontos eredményért közepes, 51-60 pontos eredményért jó vizsgajegyet ajánlunk meg. (Mivel a megajánlott jegy a zárthelyi eredményétől függ, ezért ilyet vizsgakurzuson szerezni nem lehet.)

Szóbeli vizsgát az tehet, aki a tárgyból aláírással rendelkezik és vagy nem szerzett megajánlott jegyet, vagy szerzett ugyan, de azon javítani szeretne. A szóbeli vizsgák természetesen a vizsgaidőszakban zajlanak. Ha egy hallgató jelentkezik a Neptunban egy szóbeli vizsgára (pontosabban: a vizsga napján a jelentkezettek listáján van), akkor a megajánlott jegyét elveszíti, azt a továbbiakban nem tekintjük érvényesnek - akkor sem, ha a szóbeli vizsgán végül nem jelenik meg. Aki szóbeli vizsgát tesz, annak a vizsgajegyben a zárthelyi eredményét 40%-os, a szóbelin mutatott teljesítményét 60%-os súllyal vesszük figyelembe.

Az érvényes TVSz-nek megfelelően a tárgyból korábban megszerzett aláírások érvényesek. Azok a hallgatók, akik egy korábbi félévből érvényes aláírással rendelkeznek, megkísérelhetik újból megírni a zárthelyit, hogy a korábbi zárthelyi eredményein javítsanak. Erre az esetre az alábbi feltételek vonatkoznak:

Egy korábbi félévből érvényes aláírással rendelkező hallgató újra megkísérelheti a megajánlott jegy megszerzését a zárthelyi újbóli megírásával és a nagy házi feladatok beadásával. Ha a megajánlott jegyet nem sikerül megszereznie, akkor az aláírása természetesen érvényes marad, de a vizsgajegy megszerzéséhez szóbeli vizsgát kell tennie.
Ha sikerül újra teljesíteni az aláíráshoz szükséges feltételeket, akkor a szóbeli vizsgajegybe az így kapott eredmény számít bele (akkor is, ha ez rosszabb).
Ha nem sikerül újra teljesíteni az aláíráshoz szükséges feltételeket, akkor az aláírás nem vész el, de a vizsgajegybe csak az aláírás megszerzéséhez szükséges minimális pontszámot számítjuk be.
Ha egy érvényes aláírással rendelkező hallgató az aktuális félévben legalább egy zárthelyin megjelenik, azt úgy tekintjük, hogy az illető kísérletet tett az aláírás és a megajánlott jegy újbóli megszerzésére és így rá a fenti feltételek vonatkoznak. Ellenkező esetben a legutolsó olyan félévbeli teljesítményt vesszük figyelembe, amikor a hallgató megkísérelte az aláírás feltételeinek teljesítését.

A zárthelyit a pótzárthelyin vagy a pótlási héten írt díjköteles pótláson (avagy pótpótzárthelyin) lehet pótolni. Ezeken korábban megírt, eredményes zárthelyi javítása is megkísérelhető, de csak azzal a feltétellel, hogy ilyenkor mindenképpen az új pontszám lesz érvényes, akkor is, ha az rosszabb, mint az eredeti. Ez alól egy kivétel van: ha a hallgató az aláíráshoz szükséges 40%-os eredményt elérte, de a javítónak szánt zárthelyi új pontszáma 40% alatti, akkor a hallgató az aláírást megkapja, de a zárthelyi eredményét 40%-osként vesszük figyelembe. Figyelem: a fentiekből következően, ha egy hallgató egy zárthelyin legalább 55%-os eredményt ér el, majd egy javítónak szánt új zárthelyin 55% alatti eredményt ér el, akkor a megajánlott jegyét elveszíti. Ha valaki a pót- vagy pótpótzárthelyin megjelenik (és a feladatsort átveszi), azt úgy tekintjük, hogy az illető kísérletet tett a dolgozat megírására (és így rá a fenti feltételek vonatkoznak).

A vizsgán az aktuális félévre érvényes tételsorról minden vizsgázó egy tételt húz. A vizsgán az elégséges osztályzat megszerzéséhez a tanult bizonyításokat nem kell tudni, de ismerni és érteni kell minden tanult fogalmat, tételt és algoritmust. (Az, hogy a vizsgázó az anyagot érti, magában foglalja azt is, hogy szükség esetén a fogalmakat, tételeket, algoritmusokat példán tudja illusztrálni, illetve hogy a legegyszerűbb - az anyagból rögtön következő, összetettebb bizonytást nem igénylő - összefüggéseket átlátja.) Közepes vagy annál jobb jegyre az a vizsgázó számíthat, aki az anyagban rejlő mélyebb összefüggéseket is átlátja, a bizonyításokat (vagy azoknak legalább egy részét) megtanulta és megértette.

A tárgyhoz tartozó vizsgatételsor innen lesz letölthető a szorgalmi időszak utolsó hetétől kezdve. Addig is tájékoztató jelleggel letölthető innen a 2022. tavaszi félévre vonatkozó vizsgatételsor, de felhívjuk a figyelmet arra, hogy az aktuális félévre vonatkozó tételsor ettől (kis mértékben) eltérhet.

Információk a megajánlott jegy megszerzéséről, a pótzárthelyiről és a díjköteles pótlásról

Megajánlott jegyet szerezni a normál zárthelyi mellett a pótzárthelyin és a díjköteles pótláson is lehet, a zárthelyiről írtakkal azonos feltételekkel (lásd fentebb).

A pótzárthelyire jelentkezni nem kell. A díjköteles pótlásra a Neptunban kell jelentkezni - de csak azoknak, akik a korábbi zárthelyikkel (vagy korábbi félévben) nem szereztek aláírást. Akik az aláírást már megszerezték és csak javító célzattal vagy a megajánlott jegy megszerzése érdekében vesznek részt a díjköteles pótláson, azok számára a Neptunban való jelentkezés nem szükséges (sőt, nem is tanácsos, mert pénzbe kerül). Ha viszont valaki az aláírást kívánja megszerezni a díjköteles pótláson (és emellett esetleg megajánlott jegyet is), az feltétlen jelentkezzen a Neptunban; aki ezt elmulasztja, annak az ezen az alkalmon megszerzett aláírását nem tudjuk beírni a Neptunba. (Így nincs is lehetőségünk arra, hogy a díjköteles pótláson olyan hallgatónak engedélyezzük a részvételt, akinek aláírása még nincs és a Neptunban a jelentkezést elmulasztotta.)

Azoknak, akik a tárgyból megajánlott jegyet szereztek és ezt érvényesíteni kívánják, a Neptunban jelentkezniük kell a július 7-én, 8.00-tól 8.05-ig tartó, külön erre a célra megnyitott vizsgaalkalomra. Azok, akik a 2023. tavaszi félévben záróvizsgáznak és ezért a megajánlott jegyük bejegyzésére hamarabb szükségük van, a június 12-én, 8.00-tól 8.05-ig tartó, speciálisan erre a célra létrehozott vizsgaalkalomra jelentkezzenek; kérjük, hogy erre csak olyanok jelentkezzenek, akik valóban ebben a félévben záróvizsgáznak.

Figyelem: A fentiek miatt kérjük, hogy a vizsgára jelentkezés során mindenki különös körültekintéssel járjon el és pontosan arra az alkalomra jelentkezzen, amire szüksége van!

A megajánlott jegyeket mindkét esetben (tehát az ebben a félévben záróvizsgázó hallgatóknak és a többieknek is) azon a napon írjuk be a Neptunba, amikorra ez a két vizsga ki van írva - mégpedig a fentiek szerint pontosan azoknak a hallgatóknak, akik a következő három feltétel mindegyikének megfelelnek:

a megajánlott jegyet (bármelyik zárthelyi alkalmon, illetve a Rendszeroptimalizálás tárgy hallgatóinak esetében a nagy házi feladatok teljesítésével) megszerezték és azt későbbi zárthelyi alkalmon nem veszítették el;
az erre a célra nyitott vizsgaalkalomra a Neptunban jelentkeztek;
egyetlen szóbeli vizsga alkalmával sem fordult elő, hogy a vizsga napján szerepeltek a vizsgalapon a jelentkezettek listáján.

Ha valaki jelentkezik a megajánlott jegy beírására kiírt speciális vizsgaalkalmak egyikére és a fenti három feltétel bármelyikének nem felel meg, az "nem jelent meg" bejegyzést kap a Neptunban erre a vizsgaalkalomra. Figyelem: ha valaki teljesítette a megajánlott jegy feltételeit, de a két speciális vizsgaalkalom egyikére sem jelentkezik, annak a megajánlott jegyét beírni nem tudjuk!

Beadandó nagy házi feladat

A nagy házi feladatok a megfelelő, tanult anyagrészek gyakorlati alkalmazását kívánják meg és a terveink szerint nem jelentenek komolyabb terhelést: legföljebb néhány órai munkával teljesíthetők. Mindkét nagy házi feladathoz rendelkezésre áll egy segédanyag, ami kidolgozott mintafeladatokat tartalmaz (és az LP+IP anyagrész esetében a feladat megoldásával kapcsolatos elvárásokat is ismerteti és a megoldáshoz tanácsokat ad):

A feladatokat a Rendszeroptimalizálás tárgy hallgatói a kari Moodle felületen érhetik el és a feladatokban feltett kérdésekre a válaszokat is ugyanitt kell megadni. A Moodle a feladatok helyes megoldását automatikusan ellenőrzi és a megfelelő feladat elfogadásáról visszajelzést ad. Ha egy megoldás nem tökéletes és így a Moodle nem fogadja el, akkor az tetszőleges számú alkalommal újra beadható. A két nagy házi feladatot nem szükséges egyszerre beadni, különböző időpontokban is lehet rajtuk dolgozni.

A feladatok beadásának a határideje a megajánlott jegy beírásának kívánt napja előtti nap éjfél. Figyelem: mivel ez a dátum a fentiek szerint az ebben a félévben záróvizsgázóknak eltér a többiekétől, ezért a Moodle-ban beállított beadási határidő (ami a vizsgaidőszak legvége) csak formális, nem a valóságot tükrözi. Természetesen nem tudjuk beírni a megajánlott jegyet, ha a feladatok beadása és elfogadása nem történik meg határidőre.

Zárthelyik

Zárthelyi:	május 17. (szerda)	18.00 - 20.00
Pótzárthelyi:	június 1. (csütörtök)	18.00 - 20.00
Díjköteles pótlás:	június 12. (hétfő)	8.00 - 10.00

A június 1-i pótzárthelyi feladatai és pontozási útmutatója

A pótzárthelyi eredményei (feladatonkénti bontásban) június 6-án, kedden, körülbelül 14.00-tól lesznek elérhetők a kari Moodle rendszerben. A dolgozatok megtekintésére ugyanezen a napon, 6-án, 14.30-tól (körülbelül 15.30-ig) lesz lehetőség a SzIT tanszéken (IB 136/a szoba). Figyelem! Ha valakinek ez az időpont egyetemi, azonos időpontban zajló elfoglaltság miatt nem jó, az ezt a két előadónak írt emailben jelezze legkésőbb a dolgozat megírásának kezdetéig a pontos ok megjelölésével együtt. Ilyen tartalmú előzetes jelzés híján a dolgozatok eredményei a megtekintés végén véglegesednek, azokon később már nem változtatunk (de ettől függetlenül a dolgozatokat meg tudjuk mutatni későbbi, külön egyeztetett időpontban is.)

Kérjük, hogy a zárthelyikkel kapcsolatos technikai információkat alább mindenki gondosan olvassa el. A zárthelyikkel kapcsolatos adminisztratív tudnivalók itt olvashatók.

A május 17-i zárthelyi feladatai és pontozási útmutatója

Figyelem! A zárthelyik és pótzárthelyik technikai lebonyolításával kapcsolatban az alábbiakra hívjuk fel a figyelmet.

A zárthelyiken semmilyen segédeszköz nem használható.
Mindegyik zárthelyi alkalmon egy 5 feladatból álló dolgozatot kell megírni. Mindegyik feladat 12 pontot ér, az aláíráshoz szükséges minimális pontszám 24. A munkaidő 90 perc.
Kérjük, hogy a zárthelyik írásakor mindenki megfelelő mennyiségű üres lappal érkezzen. Minden lapra fell kell írni (jól olvashatóan, lehetőleg a jobb felső sarokban) a dolgozatíró nevét és Neptun kódját, valamint az azon a lapon megoldott feladat sorszámát. Ezeket az adatokat szabad (sőt: érdemes) már a zárthelyi megkezdése előtt felírni (vagy akár rányomtatni) a lapokra, de ettől eltekintve minden lapnak üresnek kell lenni.
Kérjük, hogy minden feladat külön lapra kerüljön. A zárthelyi beadásakor kérjük szépen a lapokat a feladatok sorszáma szerint növekvőleg sorbarendezni, majd a zárthelyit hosszában kettéhajtani oly módon, hogy a név és a Neptun-kód kívül olvasható legyen. Kérjük, hogy a dolgozatot senki ne tűzze össze.
Kérjük, hogy a dolgozat írása közben a (feladatlaptól különböző) papírjait mindenki egy stószban tartsa maga előtt, az éppen nem használt papírokat tegye alulra.
Kérjük, hogy a zárthelyi írásának megkezdése előtt mindenki a teremben felügyelő oktatók által kihirdetett, illetve a táblára felírt ültetési rend pontos figyelembevételével foglaljon helyet. Ennek a figyelmen kívül hagyása, vagy nem pontos betartása előidézhet olyan helyzetet, amikor két, azonos dolgozatot író hallgató egymáshoz túl közel kerül; ha ez az ültetési rend figyelmen kívül hagyásából fakad, akkor az azt megsértő hallgató dolgozata automatikusan érvénytelen.
Kérjük, hogy a zárthelyi írásakor a teremben mindenki úgy foglaljon helyet, hogy van nála írószerszám, a dolgozat írásához használandó üres lapok és valamilyen, azonosításra alkalmas fényképes igazolvány. Ezen kívül mindenkinél lehet enni- és innivaló, de semmi más. Minden egyéb személyes holmit (így a táskákat, kabátokat, mappákat, írott vagy nyomtatott jegyzeteket, elektronikus eszközöket, stb.) a terem szélén, a fogasokon, vagy (különösen jelentősebb értékű tárgyak esetén) a tanári asztalon vagy amellett kell elhelyezni. Nyomatékosan kérjük tehát, hogy mind a dolgozatot írók közti üres székek, mind pedig az üresen maradt padsorokban található ülések maradjanak tökéletesen szabadok a dolgozat írásának teljes ideje alatt. (Ha az épületben van őrzött ruhatár, érdemes ott elhelyezni a dolgozat írásához nem szükséges személyes tárgyakat.)
A dolgozat írása közben szigorúan tilos bármilyen (akár szóbeli, akár írásbeli) kommunikáció a dolgozatot író hallgatók között. Bármilyen problémát vagy igényt (legyen szó akár a legegyszerűbbekről, mint például egy tollra vagy zsebkendőre vonatkozó kérésről) a teremben felügyelő oktatóknak kell jelezni. Ennek a megsértése a kommunikáció tartalmától függetlenül az azt kezdeményező hallgató dolgozatának az érvénytelenségét vonhatja maga után.
A zárthelyi írása közben senkinél nem lehet sem mobiltelefon (még kikapcsolva sem), sem okosóra, sem bármely más elektronikus eszköz; kérjük, aki ezt igényli, gondoskodjon (nem okos) karóráról a dolgozat írásának idejére.
A dolgozat írásának megkezdése után az első 30 percben a termet elhagyni nem lehet, ennek az időnek a letelte után pedig a késve érkező hallgatók már nem kezdhetik el a zárthelyi írását.
Amint a teremben felügyelő oktatók bejelentik a munkaidő leteltét, a továbbiakban semmit nem szabad írni a dolgozatra. (Ez alatt tehát az értendő, hogy akár az éppen írt szót vagy mondatot is félbe kell hagyni.) Ha valaki ezt megszegi, azt kockáztatja, hogy a dolgozata minden további mérlegelés nélkül érvénytelen lesz.
Kérjük, hogy a munkaidő letelte után mindenki a lehető leghamarabb juttassa el a dolgozatát a teremben felügyelő valamelyik oktatóhoz - mégpedig az oktatók által kért beadási rend maximális betartásával. Ha a dolgozatát valaki nem közvetlenül egy felügyelő oktató kezébe adja, akkor a szemével kövesse nyomon a dolgozat útját valamelyik oktatóig. A késve érkező dolgozatok automatikusan érvénytelenek - függetlenül attól, hogy a késedelem közvetlenül a dolgozatot író hallgató hibájából származik-e vagy sem.

Korábbi évek zárthelyi feladatsorai

(Minden év esetében az első zárthelyihez megoldásokat is közlünk, a pótzárthelyik esetében a 2020-nál korábbi féléveknél csak a feladatsorok olvashatók.)

2022. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2021. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2020. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2019. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2018. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi

A tárgy anyagának átalakulása miatt a 2018. tavaszi félévnél korábbi zárthelyik 3-as és 4-es feladatainak az anyaga már nem tartozik a tárgy anyagához. Az 1-es, 2-es, 5-ös és 6-os feladatok használhatók a zárthelyire való készüléshez, de ezek között is előfordulnak olyanok, amelyeknek a témája már nincs benne a tárgy anyagában.

2017. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2016. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2015. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2014. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2013. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2012. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2011. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2010. tavaszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi
2009. őszi félév: zárthelyi, pótzárthelyi

Hasznos linkek

Egy ingyenesen letölthető lineáris és egészértékű program megoldó szoftver: LpSolve