Vektorterek II.

1.
Bizonyítsuk be, hogy egy V vektortér összes vektora felírható Vbázisvektorainak lineáris kombinációjaként (tetszőleges bázist tekintve V-ben).

2.
A V vektortérben legyen egy altér V1. Mutassuk meg, hogy $dim V_1\leq dim V$.

3.
Bizonyítsuk be, hogy ha a V vektortérben az $(\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k})$ egy lineárisan független rendszer és a $(\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots,\underline{b}_{k+1})$pedig egy generátorrendszer, akkor a két vektorrendszer közül pontosan az egyik bázist alkot V-ben.

4.
Legyenek $(\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k})$ egy vektortér lineárisan független vektorai és legyen $\underline{x}=\sum_{i=1}^{k}{\lambda_{i}\underline{a}_i}$. Bizonyítsuk be, hogy $\underline{a}_1\in$ $<\underline{x},\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k}>$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\lambda_1\neq0$!

5.
Egy vektortérben az $\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k}$ vektorok is, a $\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots,\underline{b}_l$ vektorok is külön-külön lineárisan független rendszert alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy ha $<\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k}>\cap<\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots,\underline{b}_l>={\{\underline0\}}$, (vagyis a két altér metszete csak a zérus vektorból áll), akkor ez a k+ldarab vektor együtt is lineárisan független!

6.
Legyenek $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ lineárisan független vektorok és $\lambda$ skalár egy vektortérben. Elkészítjük az $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{a}-\underline{b}-\underline{c}$, $\underline{b}-\lambda{\underline{c}}$ vektorokat. Határozzuk meg, hogy a $\lambda$ skalár mely értékei mellett lesz ez utóbbi három vektor lineárisan független és melyeknél összefüggő.

7.
A síknak, mint R feletti vektortérnek lineáris transzformációi a tengelyekre való tükrözések, az y=x egyenesre való tükrözés, és minden $\alpha$ szögű, origó körüli elforgatás. Adjuk meg e leképezések mátrixát a szokásos bázisban.

8.
A legfeljebb 10-edfokú valós együtthatós polinomok vektorteret alkotnak R felett. Mutassuk meg, hogy a deriválás ennek a térnek egy $\Phi$ lineáris transzformációja. Írjuk fel $\Phi$ mátrixát egy tetszőlegesen megválasztott bázisban.

9.
Mit mondhatunk az A és B mátrixokról, ha tudjuk, hogy AB=BA?

10.
Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan A és B valós elemű mátrixok, melyekre AB=0, de egyik mátrix elemei között sincs 0.

Vissza