Vektorterek I.

Vektorterek I.

1.

Mutassuk meg, hogy az alábbiakban megadott halmazok vektorteret alkotnak (a valós számok, mint skalárhalmaz felett). Mi a közös ezekben a példákban? Keressünk bennük minél több vektorból álló lineárisan független rendszert és minél kevesebb vektorból álló generátorrendszert.

(a): A nullvektor.
(b): Az összes síkvektor.
(c): Az összes térvektor.
(d): Az összes ax+by=c alakú egyenlet.
(e): Az összes legfeljebb n-edfokú egyváltozós polinom.
(f): Az összes n*n-es valós elemû mátrix.

2.

Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:

(a): A $\underline{0}$ minden vektorrendszertõl függ.
(b): Egy vektorrendszer függ bármely õt tartalmazó vektorrendszertõl.
(c): Egy egyelemû vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha nem a $\underline{0}$ -ból áll.
(d): Minden vektorrendszer összefüggõ, amely tartalmazza a $\underline{0}$ -t.
(e): Minden vektorrendszer összefüggõ, amely egy elemet kétszer tartalmaz.

3.

Igazoljuk, hogy egy lineárisan független vektorrendszer tetszõleges részhalmaza is lineárisan független.

4.

Igazoljuk, hogy egy lineárisan összefüggõ vektorrendszerhez néhány vektort hozzávéve továbbra is lineárisan összefüggõ rendszert kapunk.

5.

(a): Legyen $\underline{a}$ , $\underline{b}$ , $\underline{c}$ egy vektortér lineárisan független elemhármasa. Lineárisan független-e ebben a térben $\underline{a}+\underline{b}$ , $\underline{b}+\underline{c}$ , $\underline{c}+\underline{a}$ ?
(b): Legyenek $\underline{a}$ , $\underline{b}$ , $\underline{c}$ egy vektortér olyan vektorai, melyekre $\underline{a}+\underline{b}$ , $\underline{b}+\underline{c}$ , $\underline{c}+\underline{a}$ lineárisan függetlenek. Lineárisan független-e ebben a térben $\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}$ ?

6.

Az $\underline{a}$ , $\underline{b}$ , és $\underline{c}$ vektorok elemei, V pedig altere egy vektortérnek, továbbá $\underline{a}+\underline{b}\in{V}$ , $\underline{c}+3\underline{a}\in{V}$ , de nem igaz, hogy $\underline{b}+2\underline{c}\in{V}$ . Mutassuk meg, hogy $6\underline{a}+3\underline{b}+\underline{c}\in{V}$ , de nem igaz, hogy $5\underline{a}+3\underline{b}+\underline{c}\in{V}$ .

7.

Legyenek $\underline{u}$ és $\underline{v}$ egy vektortér független elemei, és legyenek a, b, c, d valós számok. Mi a feltétele annak, hogy az $a\underline{u}+b\underline{v}$ és a $c\underline{u}+d\underline{v}$ vektorok is függetlenek legyenek?

8.

Legyen V₁ és V₂ alterei a V vektortérnek. Az elemekre vonatkozó $\cap$ és $\cup$ mûveletekkel altere-e V-nek ${V_1}\cap{V_2}$ illetve ${V_1}\cup{V_2}$ ?

Vissza