Vegyes feladatok

 

1.
Helyezzük el a lehető legtöbb azonos tisztet a sakktáblán úgy, hogy semelyik kettő se üsse egymást és bizonyítsuk is be, hogy ennél többet sehogyan sem lehet elhelyezni. Ez figuránként külön feladat.

2.
Két egyforma pohár egyikében víz, a másikban ugyanannyi bor van. Áttöltünk valamennyi vizet a boros pohárba, jól elkeverjük, majd az így keletkező folyadékból ugyanennyit visszatöltünk a vizet tartalmazóba. Miből lesz több: vízből az eredetileg boros pohárban, vagy borból az eredetileg vizesben?

3.
Legalább hány embert kell kiválasztani ahhoz, hogy biztosan legyen közöttük kettő, akinek ugyanannyi foga van? És ahhoz, hogy biztosan legyen közöttük kettő, akinek ugyanolyan a fogazata?

4.
A végtelen négyzethálós papíron kijelöltünk száz mezőt. Igazoljuk, hogy ezek közül ki lehet választani 25-öt, melyeknek páronként nincs közös pontjuk.

5.
A tér egy pontját rácspontnak nevezzük, ha mindhárom koordinátája egész szám. Mutassuk meg, hogy bármely 9 rácspont között van kettő, akik által meghatározott szakasz felezőpontja is rácspont.

6.
Kör alakú mély tóban úszkál egy hittérítő. A tó partján megjelenik egy úszni nem tudó kannibál, aki a parton négyszer olyan gyorsan tud futni, mint ahogy a hittérítő úszik. Viszont a szárazföldön a hittérítő sokkal jobb futó, mint a kannibál. El tud-e menekülni a hittérítő az őt üldöző kannibál elől? (Ha igen, hogyan; ha nem, miért nem?)

7.
Egy kör alakú autópályán van néhány benzinkút, s ezekben összesen annyi benzin, amellyel egy autó végig tudna menni a pályán. Bizonyítsuk be, hogy van olyan benzinkút, ahonnan egy autó ténylegesen körbe tud menni.($\star$)

8.
Van egy teknősbékánk, aki egy alkalommal a következő szabályok szerint sétafikált: Pontosan hat percig tartott az útja. Közben néhányan figyelték, mindenki pontosan egy percig. Minden megfigyelő azt mondta, hogy a saját egy perce alatt a teknős legfeljebb egy métert haladt előre. Mindig rajta tartotta valaki a szemét. Lehetséges-e, hogy a teknős a hat perc alatt több, mint hat métert haladt?($\star$)

9.
13 pénzérme közül az egyik hamis, súlya eltér a többi súlyától. Válasszuk ki a hamisat egy súlykészlet nélküli kétkarú mérleg segítségével három méréssel.($\star$)

10.
Az y=x2 egyenletű parabolát "csúszásmentesen elgurítjuk" az xtengely mentén. Legfeljebb mennyire távolodhat el az ytengelytől?($\star$)

11.
A mesebeli Csalafalván 100 házaspár él. Mindegyik férj tudja az összes asszonyról, hogy hűtlen-e, kivéve a saját feleségéről. Egy szép napon a faluba érkezik egy vándor, aki a falubélieknél tett néhánynapos ismerkedő látogatása után kiáll a falu főterére és azt kiáltja, hogy van hűtlen asszony a faluban. A férjek elhatározzák, hogy nem beszélnek egymással erről a kínos dologról, de az, aki saját felesége hűtlenségére rájön, másnap reggel a folyóba dobja az asszonyt. Az első 99 reggel békében telt. Mi történt a századik reggelen? És miféle információt adott a vándor a férjeknek?($\star$)

12.
Egy kör alakú városfalon 12 őr teljesít szolgálatot. Délben mindegyik elindul az őrhelyéről a falon valamelyik irányba olyan sebességgel, amellyel egy óra alatt kerülné meg a várost. Ha két őr szembetalálkozik, akkor sarkon fordulnak és változatlan sebességgel haladnak tovább az ellenkező irányban. Bizonyítsuk be, hogy pontban éjfélkor minden egyes őr a saját helyén lesz.($\star$)

13.
n rabló talál por alakú aranyat. Ezen szeretnének mérleg és egyéb segédeszköz nélkül osztozkodni. Fontos, hogy egyikük se érezhesse úgy, hogy önhibáján kívül kevesebbet kapott a kincs n-edrészénél. Két rablóra ismert a módszer: egyik oszt, másik választ. Vajon mi a helyzet n>2 esetén?($\star$)

14.
Strucctojás: egy adott magasságból leejtve vagy összetörik, vagy sértetlen marad. A strucctojások egyformák. Ha sértetlen maradt, akkor alacsonyabbról ledobva is sértetlen marad. Ha összetört, akkor egy másik strucctojást magasabbról ledobva az is össze fog törni.

Feladat: Két tojás segítségével mondjuk meg egy 36 emeletes házban a strucctojás határmagasságát (melyik az az emelet, ahonnan még le lehet dobni úgy, hogy egészben maradjon, de magasabbról már nem). A tojásokat össze is törhetjük, de a második összetörése után már választ kell adnunk. Minimalizálandó a kísérletek száma legrosszabb esetre.($\star$)

Vissza