Számítástudomány elemei gyakorlat
14. feladatsor (2002. dec. 12.)

1. Legyen $H$ a $G$ csoport részcsoportja és $g$ a csoport egy tetszőleges eleme. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $g^{-1}Hg=\{g^{-1}hg:h\in H\}$ is részcsoport! (ZH, 2001. dec.)

2. Legyen $G$ csoport, $N$ normálosztója ( $N\triangleleft G$), $H$ pedig részcsoport $G$-ben ($H\leq G$). Bizonyítsd be, hogy $NH$ részcsoport $G$-ben ($NH\leq G$)!

3. Hány normális részcsoportja (normálosztója) van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

4. Legyen $G$ egy csoport, és $h$ a $G$ egy tetszőleges eleme. Igazoljuk, hogy a $\varphi:G\mapsto G$, $\varphi(g)=h^{-1}gh$ leképezés homomorfizmus. Mi a $\varphi$ leképezés képe illetve magja?
   (Vizsga, 2001. dec.)

5. Egy $x\neq0$ gyűrűelem bal oldali nullosztó, ha van olyan $y\neq0$ gyűrűelem, melyre $xy=0$. Legyen $x_1$ és $x_2$ egy gyűrűben két bal oldali nullosztó. Bizonyítsuk be, hogy $x_1x_2$ is bal oldali nullosztó, de $x_1+x_2$ nem feltétlenül az!