Számítástudomány elemei gyakorlat
13. feladatsor (2002. dec. 5.)

1. Mutassuk meg, hogy a mod 9 redukált maradékosztályok a szorzásra nézve ciklikus csoportot alkotnak. (Vizsga, 1999. máj.)

2. Tekintsünk egy páratlan rendű Abel-csoportot, melyben a műveletet összeadásnak nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy az összes elem összege $0\;$!

3. Van-e $S_5$-ben, az ötödfokú szimmetrikus csoportban 9 rendű elem? (Vizsga, 1999. jún.)

4. Legyen $G$ olyan csoport, melynek rendje 55. Tudjuk még, hogy $G$-nek van legalább három különböző rendű eleme, amelyek egyike sem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $G$ kommutatív csoport! (Vizsga, 2000. aug.)

5. Legyen a $G$ csoport rendje 2000 és $g$ a csoport egy eleme. Bizonyítsuk be, hogy ha $g^{1111}$ a csoport egységeleme, akkor $g^2$ is az egységelem. (Vizsga, 2000. jún.)

6. Álljon a $H$ részhalmaz a $G$ csoport azon elemeiből, amelyek $G$ minden elemével felcserélhetők, azaz legyen $H=\{h\in G:hg=gh\;\forall g\in G\}$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $H$ részcsoportja $G$-nek! (Pótzh, 2001. dec.)

7. Melyik az a háromjegyű szám, amely 23-mal elosztva 4 maradékot ad, és 16-szorosának utolsó két számjegye 28?