Számítástudomány elemei gyakorlat
12. feladatsor (2002. nov. 28.)

1. (ism.) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $p$ prímre $(a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod{p}\;$!

2. (ism.) Bizonyítsuk az ismert 9-cel való oszthatósági szabályt! (Útmutatás: legyen $b$ 10-es számrendszerbeli felírása $a_na_{n-1}...a_0$, ekkor igazoljuk, hogy $b\equiv a_0+a_1+...+a_n\pmod9$ teljesül.)

3. Bizonyítsuk be, hogy a
   
   $$\{z\in\mathbb{C}\textup{ melyre }\exists k\in\mathbb{N}^+:z^k=1\}$$
   
   
   halmaz (vagyis az összes komplex egységgyök) a komplex számok szorzására nézve Abel-csoportot alkot! (Vizsga, 2000. máj.)

4. Bizonyítsuk be, hogy az $n$ elem összes permutációi által alkotott csoportban (az $n$-edfokú szimmetrikus csoportban, azaz $S_n$-ben) az 1-es elemet helyben hagyó permutációk részcsoportot alkotnak! (Vizsga, 2001. jún.)

5. Álljon $A$ azokból a $2\times2$-es mátrixokból, melyeknek mind a négy eleme ugyanaz a pozitív valós szám. Csoportot alkot-e ez a halmaz a szokásos mátrixszorzással?
   (Pótzh, 2001. máj.)

6. Hány hatodrendű elem van
   1. a 24 rendű ciklikus csoportban, $C_{24}$-ben?

   2. a szabályos tízszög szimmetriacsoportjában, $D_{10}$-ben? (Vizsga, 2001. jún.)

7. Mutassuk meg, hogy végtelen sok $n$ pozitív egész számra teljesül, hogy az $n$ elemű csoportok izomorfak!

8. Bizonyítsuk be, hogy egy $G$ csoport tetszőleges $a$ elemének rendje megegyezik $a^{-1}$, vagyis $a$ inverzének rendjével!

9. Csoportot alkotnak-e a valós számok az $a\otimes b=ab+a+b$-vel definiált műveletre? (Vizsga, 2002. jan.)