\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\setlength{\textwidth}{16.6cm} \setlength{\oddsidemargin}{-6mm}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
\large{\textbf{Számítástudomány elemei} gyakorlat\\
12. feladatsor (2002. nov. 28.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item (ism.) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $p$ prímre
$(a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod{p}\;$!

\item (ism.) Bizonyítsuk az ismert 9-cel való oszthatósági
szabályt! (Útmutatás: legyen $b$ 10-es számrendszerbeli felírása
$a_na_{n-1}...a_0$, ekkor igazoljuk, hogy $b\equiv
a_0+a_1+...+a_n\pmod9$ teljesül.)

\item Bizonyítsuk be, hogy a
\[
\{z\in\mathbb{C}\textup{ melyre }\exists k\in\mathbb{N}^+:z^k=1\}
\]
halmaz (vagyis az összes komplex egységgyök) a komplex számok
szorzására nézve Abel-csoportot alkot! (Vizsga, 2000. máj.)

\item Bizonyítsuk be, hogy az $n$ elem összes permutációi által
alkotott csoportban (az $n$-edfokú szimmetrikus csoportban, azaz
$S_n$-ben) az 1-es elemet helyben hagyó permutációk részcsoportot
alkotnak! (Vizsga, 2001. jún.)

\item Álljon $A$ azokból a $2\times2$-es mátrixokból, melyeknek
mind a négy eleme ugyanaz a pozitív valós szám. Csoportot alkot-e
ez a halmaz a szokásos mátrixszorzással?\\(Pótzh, 2001. máj.)

\item Hány hatodrendű elem van
\begin{enumerate}
\item a 24 rendű ciklikus csoportban, $C_{24}$-ben?

\item a szabályos tízszög szimmetriacsoportjában, $D_{10}$-ben?
(Vizsga, 2001. jún.)
\end{enumerate}

\item Mutassuk meg, hogy végtelen sok $n$ pozitív egész számra
teljesül, hogy az $n$ elemű csoportok izomorfak!

\item Bizonyítsuk be, hogy egy $G$ csoport tetszőleges $a$
elemének rendje megegyezik $a^{-1}$, vagyis $a$ inverzének
rendjével!

\item Csoportot alkotnak-e a valós számok az $a\otimes
b=ab+a+b$-vel definiált műveletre? (Vizsga, 2002. jan.)
\end{enumerate}
\end{document}
