\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\setlength{\textwidth}{16.6cm} \setlength{\oddsidemargin}{-6mm}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
\large{\textbf{Számítástudomány elemei} gyakorlat\\
11. feladatsor (2002. nov. 21.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item Keressük meg az alábbi egyenletek megoldásait (ha léteznek)
az egész számok körében!
\begin{enumerate}
\item $27x+63y=50$ \item $71x-50y=1$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Adjuk meg a $17x\equiv3+5x\pmod{51}$ kongruencia összes
megoldását $\!\!\mod{51}\;$!

\item Milyen megoldásai vannak a $21x\equiv14\pmod{35}$
kongruenciának $\!\!\mod{35}$?\\(Vizsga, 2001. jún.)
\end{enumerate}

\item Oldjuk meg az alábbi kongruenciákat!
\begin{enumerate}
\item $5x\equiv61\pmod{444}$ \item $202x\equiv157\pmod{203}$
\end{enumerate}

\item Igazoljuk az Euler-Fermat--tétel segítségével, hogy
$4^{24}-3^{24}$ osztható 35-tel!\\(Vizsga, 1999. jún.)

\item Határozzuk meg $303^{404}$ utolsó két számjegyét! (Pótzh,
1999. máj.)

\item Milyen maradékot ad 75-tel osztva $88^{89^{98}}$? (Pótzh,
2001. dec.)

\item Igazoljuk, hogy ha $n>0$ páratlan egész szám, akkor
$2^{n!}-1$ osztható $n$-nel.

\item Keressünk olyan $n$ természetes számokat, amelyekre
$\varphi(n)=2,4,14$!

\item Legyen $p_1$ és $p_2$ két prímszám úgy, hogy $p_1>p_2$.
Adjuk meg az összes olyan $p_1,p_2$ számpárt, amelyekre
$p_2^{p_1}\equiv2\pmod{p_1}$ teljesül! (Vizsga, 2000. máj.)

\item Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $p$ prímre $(a+b)^p\equiv
a^p+b^p\pmod{p}\;$!

\item Bizonyítsuk az ismert 9-cel való oszthatósági szabályt!
(Útmutatás: legyen $b$ 10-es számrendszerbeli felírása
$a_na_{n-1}...a_0$, ekkor igazoljuk, hogy $b\equiv
a_0+a_1+...+a_n\pmod9$ teljesül.)
\end{enumerate}
\end{document}
