\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
9. feladatsor (2002. ápr. 19.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item Határozd meg tetszőleges $n$ pozitív egész számra
\begin{enumerate}
    \item az $n$-edik komplex egységgyökök összegét;
    \item az $n$-edik komplex egységgyökök szorzatát!
\end{enumerate}

\item Határozd meg az alábbi halmazok számosságát:
\begin{enumerate}
    \item 0 és 1 közötti racionális számok halmaza;
    \item 0 és 1 közötti irracionális számok halmaza;
    \item a sík azon pontjainak halmaza, melyeknek mindkét koordinátája egész;
    \item a tér azon pontjainak halmaza, melyeknek mindhárom koordinátája
    racionális;
    \item a tér azon pontjának halmaza, melyeknek $x$ és $y$ koordinátája egész, $z$
    koorditátja pedig irracionális!
\end{enumerate}
\item Mi a számossága annak a halmaznak, melynek elemei azok a számok, melyek
felírhatók $a+b\sqrt k$ alakban, ahol $k$ pozitív egész, $a$ és $b$ pedig racionális
számok? (ZH. 1999. dec.)

\item Mi a valós számegyenesen megadható olyan nyílt intervallumok halmazának
számossága, melyeknek mindkét végpontja racionális szám? (Vizsga, 1999. febr.)

\item Hányféleképpen lehet kiszínezni a természetes számokat
\begin{enumerate}
    \item két színnel;
    \item négy színnel úgy, hogy a színezés periodikus legyen; (A színezés
    periodikus, ha van olyan $p$ szám - periódus, melyre $n$ és $n+p$ szám színe
    mindig ugyanaz.)
    \item két színnel - pirossal és kékkel - úgy, hogy az első $n$ szám között több
    a kék, mint a piros minden $n$ esetén;
    \item három színnel úgy, hogy a szomszédos számok különböző színűek?
\end{enumerate}
\item Mennyi az olyan 0-val kezdődő végtelen hosszú egész tagú sorozatok halmazának
számossága, melyekben bármely két szomszédos tag különbsége 1 vagy -1? (Vizsga,
2001. jan.)

\item Bontsuk a sík összes egyeneseinek halmazát két részhalmazra: $H_1$-et alkossák
az origón átmenő egyenesek, $H_2$-t a többi egyenes. Határozzuk meg $H_1$ és $H_2$
számosságát! (ZH. 2000. dec.)

\item Hány olyan végtelen hosszú $0-1$ sorozat van, amiben az 1-esek száma
véges
?
(Vizsga, 1999. jan.)
\end{enumerate}
\end{document}
