Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
8. feladatsor (2002. ápr. 12.)

1. Keresd meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat (vagyis határozd meg a sajátaltereket)!
   $$\left.a\right) \left(%% \begin{matrix} 1 & 1 \\ -3 & 5 \ ... ... 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 6 \\ \end{matrix}%% \right) \hspace{6cm}$$

2. Legyen $V$ a síkvektorok szokásos vektortere. Határozd meg $V$ következő lineáris transzformációinak sajátértékeit, sajátvektorait és a karakterisztikus polinomot!
   1. origó körüli $+90^{\textup{o}}$-os forgatás;
   2. $\mathcal{O}$ leképezés (minden vektorhoz a $\underline {0}$-t rendeli);
   3. $x=y$ egyenesre való vetítés.
3. Melyek igazak az alábbi állítások közül (tetszőleges vektortérben)? ( $\mathcal{A}^2$ az $\mathcal{A}\circ\mathcal{A}$ leképezést jelöli, $\mathcal{O}$ pedig a null-leképezést, mely minden vektorhoz a $\underline {0}$-t rendeli)
   1. Ha $\underline {v}$ sajátvektora $\mathcal{A}$-nak, akkor $\underline {v}$ sajátvektora $\mathcal{A}^2$-nek;
   2. Ha $\underline {v}$ sajátvektora $\mathcal{A}^2$-nek, akkor $\underline {v}$ sajátvektora $\mathcal{A}$-nak;
   3. Ha 0 sajátértéke $\mathcal{A}^2$-nek, akkor 0 sajátértéke $\mathcal{A}$-nak;
   4. Ha $\mathcal{A}^2=\mathcal{O}$, akkor $\mathcal{A}$-nak a 0 az egyetlen sajátértéke.
4. Végezd el az alábbi műveleteket!
   $$\left.a\right)\sqrt{-5}\hspace{4cm} \left.b\right)\sqrt{2+\sqrt{12}i} \hspace{4cm} \left.c\right)\sqrt[4]{3+3i}\hspace{4cm}$$

5. Oldd meg a komplex számok halmazán a következő egyenleteket:
   1. $z^2=2i$
   2. $z^2=7-6\sqrt{2}i$
   3. $z^2-iz+2=0$ (ZH. 2000. nov.)
6. Ábrázold a komplex számsík azon $z$ pontjainak halmazát, melyre teljesül:
   1. $-2<\textup{Im}z\le 1$
   2. $1<\left\vert z\right\vert<2$
   3. $\left\vert z-i-1\right\vert=\sqrt{2}$
7. Van-e a közönséges síkban ill. térben olyan lineáris transzformáció, melynek nincs valós sajátvektora?
8. ** Berci vett egy doboz Mackósajtot, melyben 6 db $60^{\textup{o}}$-os körcikk alakú sajt található. Este megevett belőlük hármat, és betette a hűtőbe. Reggel, mikor felnyitotta a dobozt, azt vette észre, hogy ha az egyes sajtcikkek körívre eső csúcsait a körön végighaladva $A_1,B_1$-gyel, $A_2,B_2$-vel, ill. $A_3,B_3$-mal jelöljük, akkor a $B_1A_2, B_2A_3\;\textup{és}\; B_3A_1$ szakaszok felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak. (A körcikkek csúcsai továbbra is a kör középpontjában helyezkednek el.) Bizonyítsd be, hogy Berci megfigyelése helyes, függetlenül attól, hogy a sajtok egymással milyen szöget zárnak be! (Ápr. 26-áig beadott helyes megoldások csokit érnek!)