\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
8. feladatsor (2002. ápr. 12.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\al}{\underline}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
 Keresd meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és a hozzájuk tartozó
sajátvektorokat (vagyis határozd meg a sajátaltereket)!
\[
\left.a\right)
\left(%
\begin{matrix}
  1 & 1 \\
  -3 & 5 \\
\end{matrix}%
\right) \hspace{6cm} \left.b\right)
\left(%
\begin{matrix}
 1& 2 & 3 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 5 & 6 \\
\end{matrix}%
\right) \hspace{6cm}
\]
\item
 Legyen $V$ a síkvektorok szokásos vektortere. Határozd meg $V$ következő
lineáris transzformációinak sajátértékeit, sajátvektorait és a karakterisztikus
polinomot!
\begin{enumerate}
    \item origó körüli $+90^{\textup{o}}$-os forgatás;
    \item $\OO$ leképezés (minden vektorhoz a $\al{0}$-t rendeli);
    \item $x=y$ egyenesre való vetítés.
\end{enumerate}
\item Melyek igazak az alábbi állítások közül (tetszőleges vektortérben)? ($\A^2$ az
$\A\circ\A$ leképezést jelöli, $\OO$ pedig a null-leképezést, mely minden vektorhoz
a $\al{0}$-t rendeli)
\begin{enumerate}
    \item Ha $\al{v}$ sajátvektora $\A$-nak, akkor $\al{v}$ sajátvektora $\A^2$-nek;
    \item Ha $\al{v}$ sajátvektora $\A^2$-nek, akkor $\al{v}$ sajátvektora $\A$-nak;
    \item Ha 0 sajátértéke $\A^2$-nek, akkor 0 sajátértéke $\A$-nak;
    \item Ha $\A^2=\OO$, akkor $\A$-nak a 0 az egyetlen sajátértéke.
\end{enumerate}
\item Végezd el az alábbi műveleteket!
\[
\left.a\right)\sqrt{-5}\hspace{4cm} \left.b\right)\sqrt{2+\sqrt{12}i} \hspace{4cm}
\left.c\right)\sqrt[4]{3+3i}\hspace{4cm}
\]
\item Oldd meg a komplex számok halmazán a következő egyenleteket:
\begin{enumerate}
    \item $z^2=2i$
    \item $z^2=7-6\sqrt{2}i$
    \item $z^2-iz+2=0$ (ZH. 2000. nov.)
\end{enumerate}
\item Ábrázold a komplex számsík azon $z$ pontjainak halmazát, melyre teljesül:
\begin{enumerate}
    \item $-2<\textup{Im}z\le 1$
    \item $1<\left|z\right|<2$
    \item $\left|z-i-1\right|=\sqrt{2}$
\end{enumerate}
\item Van-e a közönséges síkban ill. térben olyan lineáris transzformáció, melynek
nincs valós sajátvektora?

\item ** Berci vett egy doboz Mackósajtot, melyben 6 db $60^{\textup{o}}$-os körcikk
alakú sajt található. Este meg\-evett belőlük hármat, és betette a hűtőbe. Reggel, mikor
felnyitotta a dobozt, azt vette észre, hogy ha az egyes sajtcikkek körívre eső csúcsait a körön
végighaladva $A_1,B_1$-gyel, $A_2,B_2$-vel, ill. $A_3,B_3$-mal jelöljük, akkor a
$B_1A_2, B_2A_3\;\textup{és}\; B_3A_1$ szakaszok felezőpontjai szabályos háromszöget
alkotnak. (A körcikkek csúcsai továbbra is a kör középpontjában helyezkednek
el.) Bizonyítsd be, hogy Berci megfigyelése helyes, függetlenül attól, hogy a
sajtok egymással milyen szöget zárnak be! (Ápr. 26-áig beadott helyes
megoldások csokit érnek!)
\end{enumerate}
\end{document}
