Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
7. feladatsor (2002. ápr. 5.)

1. Legyen $\mathcal{A}$ lineáris leképezés $V_1$-ről $V_2$-be, $\underline {c}_i\in V_1$. Melyek igazak az alábbi állítások közül?
   1. Ha $\underline {c}_1,...,\underline {c}_k$ generátorrendszer $V_1$-ben, akkor $\mathcal{A}\underline {c}_1,...,\mathcal{A}\underline {c}_k$ generátorrendszer $V_2$-ben.
   2. Ha $\underline {c}_1,...,\underline {c}_k$ generátorrendszer $V_1$-ben, akkor $\mathcal{A}\underline {c}_1,...,\mathcal{A}\underline {c}_k$ generátorrendszer Im $\mathcal{A}$-ban.
   3. Ha $\mathcal{A}\underline {c}_1,...,\mathcal{A}\underline {c}_k$ generátorrendszer Im $\mathcal{A}$-ban, akkor $\underline {c}_1,...,\underline {c}_k$ generátorrendszer $V_1$-ben.
   4. Ha $\mathcal{A}\underline {c}_1=\mathcal{A}\underline {c}_2$, akkor $\underline {c}_1-\underline {c}_2\in\textup{Ker}\mathcal{A}$.
2. Az $\mathcal{A}:V\rightarrow V$ lineáris leképezésről a következőket tudjuk:
   • Bármely 4 elem képe lineárisan összefüggő.
   • Bármely 6 lineárisan független $V$-beli elem között van olyan, amelyiknek a képe nem a nulla.
   Bizonyítsd be, hogy $\textup{dim} V\!\le 8$!
3. Végezd el az alábbi műveleteket a komlex számok halmazán!
   $$\begin{array}{lll} \left.a\right)\;(2-i)+(5-4i)\hspace{3cm... ...;(i-3)^{10} &\left.i\right)\;(1+\sqrt{3}i)^{30} \end{array}$$

4. Legyen $\mathcal{A}$ olyan lineáris transzformáció, melyre $\textup{Im}\mathcal{A}\subseteq\textup{Ker}\mathcal{A}$. Bizonyítsuk be, hogy az $\mathcal{A}$ transzformáció (tetszőleges bázisban felírt) $A$ mátrixára $A^2=0$. (ZH. 1997. nov.)
5. Legyen $V$ a síkvektorok szokásos vektortere, $\mathcal{A}$ és $\mathcal{B}$ pedig $V$ egy-egy lineáris transzformációja. Döntsük el, hogy $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$ teljesül-e, ha
   1. $\mathcal{A}$ az $x$ tengelyre, $\mathcal{B}$ az $y=x$ egyenesre történő tükrözés.
   2. $\mathcal{A}$ az origó körüli $+60^{\textup{o}}$-os, $\mathcal{B}$ az origó körüli $-90^{\textup{o}}$-os elforgatás.
   3. $\mathcal{A}$ az origóból történő ötszörös nagyítás, $\mathcal{B}$ az origó körüli $+90^{\textup{o}}$-os elforgatás.
6. Az $\mathcal{A}:V\rightarrow V$ lineáris transzformációt tükrözésnek nevezzük, ha minden $\underline {v}\in V$ vektorra teljesül $\mathcal{A}(\mathcal{A}(\underline {v}))=\underline {v}$. Bizonyítsuk be, hogy a tükrözés mátrixának a determinánsa nem lehet 0. (ZH. 2000. dec.)