\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
7. feladatsor (2002. ápr. 5.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\al}{\underline}
Legyen $\A$ lineáris leképezés $V_1$-ről $V_2$-be, $\al{c}_i\in V_1$.
Melyek igazak az alábbi állítások közül?
\begin{enumerate}
\item
Ha $\al{c}_1,...,\al{c}_k$ generátorrendszer $V_1$-ben, akkor
$\A\al{c}_1,...,\A\al{c}_k$ generátorrendszer $V_2$-ben.
\item
Ha $\al{c}_1,...,\al{c}_k$ generátorrendszer $V_1$-ben, akkor
$\A\al{c}_1,...,\A\al{c}_k$ generátorrendszer Im$\A$-ban.
\item
Ha $\A\al{c}_1,...,\A\al{c}_k$ generátorrendszer Im$\A$-ban, akkor
$\al{c}_1,...,\al{c}_k$ generátorrendszer $V_1$-ben.
\item
Ha $\A\al{c}_1=\A\al{c}_2$, akkor $\al{c}_1-\al{c}_2\in\textup{Ker}\A$.
\end{enumerate}
\item
Az $\A:V\rightarrow V$ lineáris leképezésről a következőket tudjuk:
\begin{itemize}
\item
Bármely 4 elem képe lineárisan összefüggő.
\item
Bármely 6 lineárisan független $V$-beli elem között van olyan,
amelyiknek a képe nem a nulla.
\end{itemize}
Bizonyítsd be, hogy $\textup{dim} V\!\le 8$!
\item
Végezd el az alábbi műveleteket a komlex számok halmazán!
\[
\begin{array}{lll}
\left.a\right)\;(2-i)+(5-4i)\hspace{3cm}\rule[-3mm]{0mm}{5mm}
&\left.b\right)\;(4+i)(5-4i)\hspace{3cm}
&\left.c\right)\;\overline{(2+i)^3}\\
\left.d\right)\;\displaystyle\frac{4+i}{5-2i}
&\left.e\right)\;\left|\displaystyle\frac{6+3i}{6-3i}\right|
&\left.f\right)\;i^{18}\\
\left.g\right)\;\displaystyle\frac{(1+i)^9}{(1-i)^7}
&\left.h\right)\;(i-3)^{10}
&\left.i\right)\;(1+\sqrt{3}i)^{30}
\end{array}
\]








\item
Legyen $\A$ olyan lineáris transzformáció, melyre
$\textup{Im}\A\subseteq\textup{Ker}\A$. Bizonyítsuk be, hogy az $\A$
transzformáció (tetszőleges bázisban felírt) $A$ mátrixára $A^2=0$.
(ZH. 1997. nov.)
\item
Legyen $V$ a síkvektorok szokásos vektortere, $\A$ és $\B$ pedig
$V$ egy-egy lineáris transzformációja. Döntsük el, hogy $\A\B=\B\A$
teljesül-e, ha
\begin{enumerate}
\item
$\A$ az $x$ tengelyre, $\B$ az $y=x$ egyenesre történő tükrözés.
\item
$\A$ az origó körüli $+60^{\textup{o}}$-os, $\B$ az origó körüli
$-90^{\textup{o}}$-os elforgatás.
\item
$\A$ az origóból történő ötszörös nagyítás, $\B$ az origó körüli
$+90^{\textup{o}}$-os elforgatás.
\end{enumerate}
\item
Az $\A:V\rightarrow V$ lineáris transzformációt tükrözésnek nevezzük,
ha minden $\al{v}\in V$ vektorra teljesül $\A(\A(\al{v}))=\al{v}$.
Bizonyítsuk be, hogy a tükrözés mátrixának a determinánsa nem lehet
0. (ZH. 2000. dec.)
\end{enumerate}
\end{document}
