Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
6. feladatsor (2002. márc. 29.)

1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját (a paraméter függvényében):
   $$\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&5&6\\ 3&5&9\\ 0&1&0 \end{pma... ...} \hspace{2cm} \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 0&1&3\\ 2&3&x \end{pmatrix}$$

2. Legyen $A$ egy $6\times 5$-ös valós mátrix. Melyek igazak a következő állítások közül?
   1. Ha az első három sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső $3\times 3$-as aldetermináns 0.
   2. Ha a bal felső $3\times 3$-as aldetermináns 0, akkor az első három sor lineárisan összefüggő.
   3. Ha az első három oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó három oszlop is lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
   4. Ha az első két oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó két oszlop is lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
3. Legyen $V$ a síkvektorok szokásos vektortere. Döntsük el az alábbi hozzárendelésekről, hogy lineáris leképezések-e! Ha igen, írjuk fel a mátrixukat az $\{(1,0),(0,1)\}$ bázisban! Minden $\underline {v}\in V$ vektornak feleltessük meg
   1. az $y$ tengelyre való tükörképét.
   2. origó körüli $+60^{\textup{o}}$-os elforgatottját.
   3. az $y$ tengelyre való tükörképének origó körüli $+60^{\textup{o}}$-os elforgatottját.
   4. azt az $x$ tengelyre eső vektort, amelynek első koordinátája a $\underline {v}$ koordinátái közül a nagyobb.
   5. azt az $x$ tengelyre eső vektort, amelynek első koordinátája a $\underline {v}$ koordinátáinak összege.
4. Legyen $W$ a $V$ vektortér egy nemtriviális altere. Lineáris transzformációt definiálnak-e az alábbi megfeleltetések?
   $$\left. \textup{a}\right)\;\mathcal{A}\underline {x}=\left\{... ...{x}&\textup{ha}\;\;\underline {x}\notin W \end{array}\right.$$

5. Tekintsük a legfeljebb harmadfokú, valós együtthatós polinomokat (azaz az $ax^3+bx^2+cx+d$ alakú kifejezéseket, ahol $a,b,c,d\in\mathbb{R}$). Ezeket értelemszerűen össze tudjuk adni, vagy meg tudjuk szorozni egy valós számmal. így egy $V$ vektorteret kapunk. (A műveletek tehát ugyanúgy működnek, mint a valós számnégyesekből álló vektortérben.) $V$-ben egy bázis a $B=\{1,x,x^2,x^3\}$ halmaz. Döntsd el, hogy az alábbi $\mathcal{A}: V\rightarrow V$ függvények lineáris leképezések-e? Ha igen, add meg a kép- és magterüket, illetve a mátrixukat a $B$ bázisban felírva! Minden polinomnak feletessük meg
   1. a konstans tagját;
   2. a deriváltját.
6. Hány olyan $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció van az $\mathbb{R}^2$ vektortéren, amelyre
   1. $\mathcal{A}\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$ és $\mathcal{A}\begin{pmatrix}2\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$;
   2. $\mathcal{A}\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$ és $\mathcal{A}\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$;
   3. $\mathcal{A}\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 5\end{pmatrix}$ és $\mathcal{A}\begin{pmatrix}2\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\ 10\end{pmatrix}$;
7. Legyen $A=\displaystyle\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}$. A tér minden $\underline {x}=\displaystyle\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$ vektorához rendeljük hozzá a tér $\underline {y}=A\cdot\underline {x}$ vektorát! (A tér vektorai tehát $3\times 1$-es mátrixok.)
   1. Bizonyítsd be, hogy így egy $\mathcal{A}$ lineáris transzformációt kaptunk.
   2. Írd fel $\mathcal{A}$ mátrixát az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ bázisban.
   3. Határozd meg Ker $\mathcal{A}$-t és Im $\mathcal{A}$-t.