\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
6. feladatsor (2002. márc. 29.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item
Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját (a paraméter függvényében):
\[
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&5&6\\
3&5&9\\
0&1&0
\end{pmatrix}
\hspace{2cm}
\begin{pmatrix}
1&3&2&1\\
2&1&-1&0\\
-1&2&3&1
\end{pmatrix}
\hspace{2cm}
\begin{pmatrix}
1&2&-1\\
0&1&3\\
2&3&x
\end{pmatrix}
\]
\item
Legyen $A$ egy $6\times 5$-ös valós mátrix. Melyek igazak a következő
állítások közül?
\begin{enumerate}
\item
Ha az első három sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső
$3\times 3$-as aldetermináns 0.
\item
Ha a bal felső $3\times 3$-as  aldetermináns 0, akkor az első három sor
lineárisan összefüggő.
\item
Ha az első három oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó három oszlop
is lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
\item
Ha az első két oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó két oszlop
is lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
\end{enumerate}
\item
\newcommand*{\al}{\underline}
Legyen $V$ a síkvektorok szokásos vektortere. Döntsük el az alábbi
hozzárendelésekről, hogy lineáris leképezések-e! Ha igen, írjuk fel
a mátrixukat az $\{(1,0),(0,1)\}$ bázisban! Minden $\al{v}\in V$ vektornak
feleltessük meg
\begin{enumerate}
\item
az $y$ tengelyre való tükörképét.
\item
origó körüli $+60^{\textup{o}}$-os elforgatottját.
\item
az $y$ tengelyre való tükörképének origó körüli $+60^{\textup{o}}$-os
elforgatottját.
\item
azt az $x$ tengelyre eső vektort, amelynek első koordinátája a $\al{v}$
koordinátái közül a nagyobb.
\item
azt az $x$ tengelyre eső vektort, amelynek első koordinátája a $\al{v}$
koordinátáinak összege.
\end{enumerate}
\item
Legyen $W$ a $V$ vektortér egy nemtriviális altere. Lineáris transzformációt
definiálnak-e az alábbi megfeleltetések?
\[
\left. \textup{a}\right)\;\mathcal{A}\al{x}=\left\{
\begin{array}{cc}
\al{x}&\textup{ha}\;\;\al{x}\in W\\
\al{0}&\textup{ha}\;\;\al{x}\notin W
\end{array}\right.
\hspace{2cm}
\left. \textup{b}\right)\;\mathcal{B}\al{x}=\left\{
\begin{array}{cc}
\al{0}&\textup{ha}\;\;\al{x}\in W\\
\al{x}&\textup{ha}\;\;\al{x}\notin W
\end{array}\right.
\]
\item
Tekintsük a legfeljebb harmadfokú, valós együtthatós polinomokat
(azaz az $ax^3+bx^2+cx+d$ alakú kifejezéseket, ahol $a,b,c,d\in\mathbb{R}$).
Ezeket értelemszerűen össze tudjuk adni, vagy meg tudjuk szorozni egy
valós számmal. így egy $V$ vektorteret kapunk. (A műveletek tehát ugyanúgy
működnek, mint a valós számnégyesekből álló vektortérben.) $V$-ben egy
bázis a $B=\{1,x,x^2,x^3\}$ halmaz. Döntsd el, hogy az alábbi $\mathcal{A}:
V\rightarrow V$ függvények lineáris leképezések-e? Ha igen, add meg a kép-
és magterüket, illetve a mátrixukat a $B$ bázisban felírva!
Minden polinomnak feletessük meg
\begin{enumerate}
\item
a konstans tagját;
\item
a deriváltját.
\end{enumerate}
\eject
\item
Hány olyan $\mathcal{A}$  lineáris transzformáció van az $\mathbb{R}^2$
vektortéren, amelyre
\begin{enumerate}
\item
$\mathcal{A}\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}$ és
$\mathcal{A}\begin{pmatrix} 2\\6\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$;
\item
$\mathcal{A}\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}$ és
$\mathcal{A}\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}$;
\item
$\mathcal{A}\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 6\\5\end{pmatrix}$ és
$\mathcal{A}\begin{pmatrix} 2\\6\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 12\\10\end{pmatrix}$;
\end{enumerate}
\item
Legyen $A=\displaystyle\begin{pmatrix}
1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}$.
A tér minden $\al{x}=\displaystyle\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$ vektorához rendeljük hozzá a tér
$\al{y}=A\cdot\al{x}$ vektorát! (A tér vektorai tehát $3\times 1$-es
mátrixok.)
\begin{enumerate}
\item
Bizonyítsd be, hogy így egy $\mathcal{A}$  lineáris transzformációt kaptunk.
\item
Írd fel $\mathcal{A}$ mátrixát az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ bázisban.
\item
Határozd meg Ker$\mathcal{A}$-t és Im$\mathcal{A}$-t.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
