Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
5. feladatsor (2002. márc. 22.)

1. Legyenek adottak az alábbi mátrixok:
   $$A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&4\\ 3&4&5 \end{pmatrix} \q... ...end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} -1&2\\ 2&3\\ 3&4 \end{pmatrix}$$
   Végezzük el a következő mátrixműveletek közül azokat, amelyeket lehet:
   $$A+A,\; A+B,\; AB,\; AC,\; AC+2C,\; D^2,\; BC,\; CB$$

2. Számítsd ki az alábbi mátrixokat!
   $$\left. a\right)\left( \begin{matrix} 2&-4\\ 1&-2 \end{matri... ... \left. c\right)\left( \begin{matrix} 1&1\\ 0&1 \end{matrix}\right) ^ n$$

3. Legyen $A$ egy olyan mátrix, amelyben minden sorban és minden oszlopban az elemek összege 0, $B$ pedig olyan mátrix, amelynek minden eleme egyenlő. Mi lesz az $AB$, illetve a $BA$ szorzat, ha a szorzás elvégezhető?
4. Függetlenek-e az alábbi valós vektorrendszerek? Ha nem, hány dimenziós alteret generálnak?
   1. $(1,1,-1,0),(2,1,0,1),(3,2,-1,1)$
   2. $(1,3,2,1),(0,1,-1,4),(1,1,1,1),(-2,1,2,1)$
   3. $(1,2,-1),(2,3,1),(-1,-2,1),(0,-1,3),(1,1,1)$
5. Az $A$ és a $B$ $n\times n$-es mátrixról tudjuk, hogy det$A\neq0$, valamint azt, hogy $A\cdot B=\underline0$. Határozd meg a $B$ mátrixot! (Itt a $\underline0$ a csupa nulla mátrixot jelöli.)
6. Határozd meg az összes olyan $2\times 2$-es $X$ mátrixot, melynek minden eleme racionális szám és amelyre $X^{2002}=\begin{pmatrix}1&3\\ 2&8 \end{pmatrix}$ teljesül.
7. Számítsd ki a következő mátrixok inverzét!
   $$\left. a\right) \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix} \hsp... ... \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&1&...&2 \end{pmatrix}$$

8. Az $n\times n$-es $A$ és $B$ mátrixokra teljesül, hogy $AB=A$ és $BA=B$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $A^2=A$ és $B^2=B$. (Vizsga, 1999. jan.)