\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
5. feladatsor (2002. márc. 22.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item
Legyenek adottak az alábbi mátrixok:
\[
A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&5
\end{pmatrix}
\quad
B=\begin{pmatrix}
-1&-2&-3
\end{pmatrix}
\quad
C=\begin{pmatrix}
-1\\ 2\\ 3
\end{pmatrix}
\quad
D=\begin{pmatrix}
-1&2\\
2&3\\
3&4
\end{pmatrix}
\]
Végezzük el a következő mátrixműveletek közül azokat, amelyeket lehet:
\[
A+A,\; A+B,\; AB,\; AC,\; AC+2C,\; D^2,\; BC,\; CB
\]
\item
Számítsd ki az alábbi mátrixokat!
\[
\left. a\right)\left(
\begin{matrix}
2&-4\\
1&-2
\end{matrix}\right) ^ {2002}
\hspace{3cm}
\left. b\right)\left(
\begin{matrix}
2&-3\\
1&-2
\end{matrix}\right) ^{2002}
\hspace{3cm}
\left. c\right)\left(
\begin{matrix}
1&1\\
0&1
\end{matrix}\right) ^ n
\]
\item
Legyen $A$ egy olyan mátrix, amelyben minden sorban és minden oszlopban
az elemek összege 0, $B$ pedig olyan mátrix, amelynek minden eleme egyenlő.
Mi lesz az $AB$, illetve a $BA$ szorzat, ha a szorzás elvégezhető?
\item
Függetlenek-e az alábbi valós vektorrendszerek? Ha nem, hány dimenziós
alteret generálnak?
\begin{enumerate}
\item
$(1,1,-1,0),(2,1,0,1),(3,2,-1,1)$
\item
$(1,3,2,1),(0,1,-1,4),(1,1,1,1),(-2,1,2,1)$
\item
$(1,2,-1),(2,3,1),(-1,-2,1),(0,-1,3),(1,1,1)$
\end{enumerate}
\item
Az $A$ és a $B$ $n\times n$-es mátrixról tudjuk, hogy det$A\neq0$, valamint azt, hogy $A\cdot B=\underline0$.
Határozd meg a $B$ mátrixot!
(Itt a $\underline0$ a csupa nulla mátrixot jelöli.)
\item
Határozd meg az összes olyan $2\times 2$-es $X$ mátrixot, melynek minden eleme racionális szám és amelyre $X^{2002}=\begin{pmatrix}1&3\\2&8
\end{pmatrix}$ teljesül.
\item
Számítsd ki a következő mátrixok inverzét!
\[
\left. a\right)
\begin{pmatrix}
1&2\\ 3&4
\end{pmatrix}
\hspace{2cm}
\left. b\right)
\begin{pmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
1&3&6&10\\
1&4&10&20
\end{pmatrix}
\hspace{2cm}
\left. c\right)
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&...&1\\
1&2&1&1&...&1\\
1&1&2&1&...&1\\
1&1&1&2&...&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&1&1&1&...&2
\end{pmatrix}
\]
\item
Az $n\times n$-es $A$ és $B$ mátrixokra teljesül, hogy $AB=A$ és
$BA=B$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $A^2=A$ és $B^2=B$. (Vizsga, 1999. jan.)


\end{enumerate}
\end{document}
