Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
4. feladatsor (2002. márc. 8.)

1. Mennyi az 1, 2, ..., $n$ elemek inverziószáma az alábbi permutációkban?
   1. 1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2    (n=9)
   2. 100, 101, 98, 99, 96, 97, ..., 2, 3, 1    (n=101)
2. Tekintsük az alábbi determinánst!
   $$\begin{vmatrix} P&K&B&J\\ U&V&E&R\\ I&D&N&S\\ L&T&M&A \end{vmatrix}$$
   Mi lesz ebben a definíció szerinti kiszámoláskor az alábbi szorzatok előjele?
   $\left.a\right)BUDA\hfil\left.b\right)PEST\hfil\left.c\right)JETI\hfil$
3. Számold ki az alábbi determinánsokat!
   $$\hspace{2.5cm} \left.a\right)\; \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3... ...dots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&1&...&n \end{vmatrix}\hspace{2.5cm}$$
   $$\left.c\right)\; \begin{vmatrix} 1&1&1&1&...&1\\ 1&2&2&2&...&2\... ...dots&\vdots&\vdots\\ 0&b&...&a&0\\ b&0&...&0&a \end{vmatrix}\hspace{1.5cm}$$

4. Legyen $A$ egy $n\times n$-es mátrix. Bizonyítsd be, hogy az oszlopai (mint függőlegesen írt oszlopvektorok) akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha det$A\neq0$.
5. Az $A$ és a $B$ $n\times n$-es mátrixról tudjuk, hogy det$A\neq0$, valamint azt, hogy $A\cdot B=\underline0$. Határozd meg a $B$ mátrixot! (Itt a $\underline0$ a csupa nulla mátrixot jelöli.)
6. Határozd meg az összes olyan $2\times 2$-es $X$ mátrixot, melynek minden eleme racionális szám és amelyre $X^{2001}=\left[\begin{matrix}1&3\ 2&8 \end{matrix}\right]$ teljesül.
7. Legyen $A$ egy $n$ sorból és $n$ oszlopból álló valós mátrix, a $k$-adik sorának $j$-edik elemét jelölje $a_{kj}$. Legyen $B$ az az $n$-szer $n$-es mátrix, amelyben a $k$-adik sor $j$-edik elemére $b_{kj}=\frac{k}ja_{kj} (1\le k, j\le n)$. Mennyi $B$ determinánsa, ha tudjuk, hogy det$A=1$? (ZH. 2000. nov.)
8. Bizonyítsd be, hogy
   $$\begin{vmatrix} 1849&1444&1896&1222\\ 1490&1703&1790&1526\\ 1342&1566&1541&1514\\ 1242&1552&1382&1825 \end{vmatrix}\;\neq0$$

9. Egy $n\times n$-es mátrix minden eleme 1 vagy -1. Igazoljuk, hogy a mátrix determinánsa osztható $2^{n-1}$-nel. (Vizsga, 2001. dec.)