\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
4. feladatsor (2002. márc. 8.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item
Mennyi az 1, 2, ..., $n$ elemek inverziószáma az alábbi permutációkban?
\begin{enumerate}
\item
1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2\quad (n=9)
\item
100, 101, 98, 99, 96, 97, ..., 2, 3, 1\quad (n=101)
\end{enumerate}
\item
Tekintsük az alábbi determinánst!
\[
\begin{vmatrix}
P&K&B&J\\
U&V&E&R\\
I&D&N&S\\
L&T&M&A
\end{vmatrix}
\]
Mi lesz ebben a definíció szerinti kiszámoláskor az alábbi szorzatok
előjele?\\
$\left.a\right)BUDA\hfil\left.b\right)PEST\hfil\left.c\right)JETI\hfil$
\item
Számold ki az alábbi determinánsokat!
\[
\hspace{2.5cm}
\left.a\right)\;
\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
1&3&6&10\\
1&4&10&20\\
\end{vmatrix}
\hspace{2.5cm}
\left.b\right)\;
\begin{vmatrix}
1&1&1&1&...&1\\
1&2&1&1&...&1\\
1&1&3&1&...&1\\
1&1&1&4&...&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&1&1&1&...&n
\end{vmatrix}
\hspace{2.5cm}
\]
\[
\left.c\right)\;
\begin{vmatrix}
1&1&1&1&...&1\\
1&2&2&2&...&2\\
1&2&3&3&...&3\\
1&2&3&4&...&4\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&2&3&4&...&n
\end{vmatrix}
\hspace{1.5cm}
\left.d\right)\;
\begin{vmatrix}
1&1&1&1&...&1&1\\
1&0&0&0&...&0&1\\
0&1&0&0&...&0&1\\
0&0&1&0&...&0&1\\
0&0&0&1&...&0&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&...&1&1
\end{vmatrix}
\hspace{1.5cm}
\left.e\right)\ast\;
\begin{vmatrix}
a&0&...&0&b\\
0&a&...&b&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&b&...&a&0\\
b&0&...&0&a
\end{vmatrix}
\hspace{1.5cm}
\]
\item
Legyen $A$ egy $n\times n$-es mátrix. Bizonyítsd be, hogy az oszlopai
(mint függőlegesen írt oszlopvektorok) akkor és csak akkor lineárisan
függetlenek, ha det$A\neq0$.
\item
Az $A$ és a $B$ $n\times n$-es mátrixról tudjuk, hogy det$A\neq0$,
valamint azt, hogy $A\cdot B=\underline0$. Határozd meg a $B$ mátrixot!
(Itt a $\underline0$ a csupa nulla mátrixot jelöli.)
\item
Határozd meg az összes olyan $2\times 2$-es $X$ mátrixot, melynek minden
eleme racionális szám és amelyre $X^{2001}=\left[\begin{matrix}1&3\\2&8
\end{matrix}\right]$ teljesül.
\item
Legyen $A$ egy $n$ sorból és $n$ oszlopból álló valós mátrix, a $k$-adik
sorának $j$-edik elemét jelölje $a_{kj}$. Legyen $B$ az az $n$-szer $n$-es
mátrix, amelyben a $k$-adik sor $j$-edik elemére $b_{kj}=\frac{k}ja_{kj}
(1\le k, j\le n)$. Mennyi $B$ determinánsa, ha tudjuk, hogy det$A=1$?
(ZH. 2000. nov.)
\item
Bizonyítsd be, hogy
\[
\begin{vmatrix}
1849&1444&1896&1222\\
1490&1703&1790&1526\\
1342&1566&1541&1514\\
1242&1552&1382&1825
\end{vmatrix}
\;\neq0
\]
\item
Egy $n\times n$-es mátrix minden eleme 1 vagy -1. Igazoljuk,
hogy a mátrix determinánsa osztható $2^{n-1}$-nel. (Vizsga, 2001. dec.)
\end{enumerate}
\end{document}
