Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
3. feladatsor (2002. márc. 1.)

1. Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak-e (a 3 dimenziós térben)?
   1. $(1,1,1)\in \left<(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\right>$
   2. Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok generátorrendszert alkotnak.
   3. Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok lineárisan függetlenek.
   4. Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok bázist alkotnak.
   5. A $\{(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1)\}$ vektorok generátorrendszert alkotnak.
   6. A $\{(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1)\}$ vektorok lineárisan függetlenek.
2. Melyek igazak az alábbi állítások közül? (A vektorok egy tetszőleges vektortérből valók.)
   1. Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}$, $v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
   2. Ha $\{u_1,...,u_{100},v_1,...,v_{100}\}$ lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
   3. Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független, akkor $\{u_1+v_1,...$, $u_{100}+v_{100}\}$ is lineárisan független.
   4. Ha $\{u_1+v_1,...,u_{100}+v_{100}\}$ lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
   5. Ha $u_1,...,u_{100}$ közül bármely 99 vektor lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ is lineárisan független.
   6. Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független, akkor $\{u_1,u_1+u_2,...,u_1+u_2+...+u_{100}\}$ is lineárisan független.
3. Oldjuk meg a Gauss-elimináció segítségével az alábbi lineáris egyenletrendszereket!
   
   $$\begin{array}{cr@{\ =\ }lcr@{\ =\ }lcr@{\ =\ }l} &-x+3y+3z &... ...&&5x+10y+15z&5\\ &2x+y+z&7&&4x+4y+4z&1&&3x+6y-9z&3 \end{array}$$
   
   

4. Oldd meg az alábbi $n$ ismeretlenes és $n$ egyenletből álló egyenletrendszereket!
   
   $$\begin{array}{crclcrcl} &x_1+x_2&=&1&&x_1+x_2+x_3+...+x_n&=&... ...ots&\\ &x_n+x_1&=&1&&x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n&=&1\\ \end{array}$$
   
   

5. Adj példát olyan 3 ismeretlenes és 5 egyenletből álló egyenletrendszerre, melynek
   1. nincs megoldása;
   2. egyértelmű megoldása van;
   3. végtelen sok megoldása van!
   Oldd meg a feladatot 5 ismeretlen és 3 egyenletből álló egyenletrendszerekkel is!
6. Adjuk meg a $t$ paraméter értékétől függően az alábbi egyenletrendszer megoldását! (ZH. 2000. nov.)
   $$\begin{eqnarray*} x+3y-z&=&2\\ 2x-2y+6z&=&12\\ -3x-y+t\cdot z&=&3 \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

7. A $V$ vektortér két alterének, $V_1$-nek és $V_2$-nek a nullvektor az egyetlen közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy $\textup{dim}V_1+\textup{dim}V_2\leq\textup{dim}V$. (ZH. 1999. nov.)
8. Igaz-e, hogy egy tetszőleges $n$ dimenziós vektortérben bázist alkot
   1. bármely $n$ darab vektorból álló lineárisan független rendszer;
   2. bármely $n$ darab vektorból álló generátorrendszer?
9. Legyenek $v_1,v_2,...,v_k$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $c$ paraméter összes olyan valós értékét, melyre a $v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_{k-1}-v_k,v_k-cv_1$ vektorok lineárisan függetlenek! (ZH. 1998. nov.)
10. Egy tetszőleges $V$ vektortérben adott 2001 darab vektor, amelyekről tudjuk, hogy generátorrendszert alkotnak. Bizonyítsd be, hogy kiválsztható közülük néhány (esetleg mind, esetleg csak egy) úgy, hogy a kiválasztott vektorok bázist alkotnak!