\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-2cm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\large{Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat\\
3. feladatsor (2002. márc. 1.)}
\end{center}
\ \\
\begin{enumerate}
\item
Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak-e (a 3 dimenziós térben)?
\begin{enumerate}
\item
$(1,1,1)\in \left<(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\right>$
\item
Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok generátorrendszert alkotnak.
\item
Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok lineárisan függetlenek.
\item
Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok bázist alkotnak.
\item
A $\{(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1)\}$ vektorok generátorrendszert alkotnak.
\item
A $\{(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1)\}$ vektorok lineárisan függetlenek.
\end{enumerate}
\item
Melyek igazak az alábbi állítások közül? (A vektorok egy tetszőleges
vektortérből valók.)
\begin{enumerate}
\item
Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is
lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}$, $v_1,...,v_{100}\}$ is
lineárisan független.
\item
Ha $\{u_1,...,u_{100},v_1,...,v_{100}\}$ lineárisan független, akkor
$\{u_1,...,u_{100}\}$ és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
\item
Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is
lineárisan független, akkor $\{u_1+v_1,...$, $u_{100}+v_{100}\}$ is lineárisan
független.
\item
Ha $\{u_1+v_1,...,u_{100}+v_{100}\}$ lineárisan független, akkor
$\{u_1,...,u_{100}\}$ és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
\item
Ha $u_1,...,u_{100}$ közül bármely 99 vektor lineárisan független,
akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ is lineárisan független.
\item
Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független, akkor
$\{u_1,u_1+u_2,...,u_1+u_2+...+u_{100}\}$ is lineárisan független.
\end{enumerate}
\item
Oldjuk meg a Gauss-elimináció segítségével az alábbi lineáris
egyenletrendszereket!
\[
\begin{array}{cr@{\ =\ }lcr@{\ =\ }lcr@{\ =\ }l}
&-x+3y+3z & 2 && 2x+3y+z&11&&2x+3y+z&11\\
\left.a\right)&3x+y+z & 4 &\left.b\right)&x-y-2z&-7&\left.c\right)&x-y-2z&-7\\
&2x-2y+3z & 10&&3x+2y-z&2&&3x+2y-z&4\\
\\
&x+2y-z&2&&x+y+z&4&&7x+14y-21z&7\\
\left.d\right)&3x-y+2z&7&\left.e\right)&-x+y-z&2&\left.f\right)&x+2y-3z&1\\
&x-z&-2&&2x+y+2z&1&&5x+10y+15z&5\\
&2x+y+z&7&&4x+4y+4z&1&&3x+6y-9z&3
\end{array}
\]
\item
Oldd meg az alábbi $n$ ismeretlenes és $n$ egyenletből álló
egyenletrendszereket!
\[
\begin{array}{crclcrcl}
&x_1+x_2&=&1&&x_1+x_2+x_3+...+x_n&=&n\\
&x_2+x_3&=&1&&x_1+2x_2+2x_3+...+2x_n&=&n-1\\
\left.a\right)&&\vdots&&\left.b\right)&x_1+2x_2+3x_3+...+3x_n&=&n-2\\
&x_{n-1}+x_n&=&1&&&\vdots&\\
&x_n+x_1&=&1&&x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n&=&1\\
\end{array}
\]
\item
Adj példát olyan 3 ismeretlenes és 5 egyenletből álló egyenletrendszerre,
melynek
\begin{enumerate}
\item
nincs megoldása;
\item
egyértelmű megoldása van;
\item
végtelen sok megoldása van!
\end{enumerate}
Oldd meg a feladatot 5 ismeretlen és 3 egyenletből álló egyenletrendszerekkel
is!
\item
Adjuk meg a $t$ paraméter értékétől függően az alábbi egyenletrendszer
megoldását! (ZH. 2000. nov.)
\begin{eqnarray*}
x+3y-z&=&2\\
2x-2y+6z&=&12\\
-3x-y+t\cdot z&=&3
\end{eqnarray*}
\item
A $V$ vektortér két alterének, $V_1$-nek és $V_2$-nek a nullvektor az egyetlen
közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy
$\textup{dim}V_1+\textup{dim}V_2\leq\textup{dim}V$. (ZH. 1999. nov.)
\item
Igaz-e, hogy egy tetszőleges $n$ dimenziós vektortérben bázist alkot
\begin{enumerate}
\item
bármely $n$ darab vektorból álló lineárisan független rendszer;
\item
bármely $n$ darab vektorból álló generátorrendszer?
\end{enumerate}
\item
Legyenek $v_1,v_2,...,v_k$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $c$
paraméter összes olyan valós értékét, melyre a
$v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_{k-1}-v_k,v_k-cv_1$ vektorok lineárisan függetlenek!
(ZH. 1998. nov.)
\item
Egy tetszőleges $V$ vektortérben adott 2001 darab vektor, amelyekről tudjuk,
hogy generátorrendszert alkotnak. Bizonyítsd be, hogy kiválsztható közülük
néhány (esetleg mind, esetleg csak egy) úgy, hogy a kiválasztott vektorok
bázist alkotnak!
\end{enumerate}
\end{document}
