Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
2. feladatsor (2002. febr. 22.)

1. Számítsuk ki az $A(1,3,5)$, a $B(2,0,1)$ és a $C(3,0,3)$ pontok által meghatározott háromszög $S$ súlypontját! Határozzuk meg a térnek azon pontjait, melyek rajta vannak az $ABC$ síkra az $S$ pontban állított megőleges egyenesen! (Vizsga, 2001. jan.)
2. A valós együtthatós polinomok vektorterében alteret alkotnak-e az alábbi tulajdonságokkal rendelkező $P(x)$ polinomokból álló halmazok:
   1. deg$P=5$
   2. deg$P\leq5$
   3. deg$P\leq5$ és $P(2)=0$
   4. deg$P\leq5$ és $P(2)=0$ vagy $P(3)=0$
   5. $a_1+a_0=0$, ahol $a_1$ az elsőfokú tag együtthatója, $a_0$ pedig a konstans tag
   6. $x^2+1\;\vert\;P(x)$
   7. $P(x)$-nek van valós gyöke
3. Legyen $V$ vektortér, és $W$ a $V$ egy nemtriviális altere. Melyek igazak az alábbi állítások közül ($u$, $v \in V$, $\lambda\in R$)?
   1. $u+v\in W \Rightarrow u, v\in W;$
   2. $\lambda\neq 0,\, \lambda\cdot v\in W\Rightarrow v\in W;$
   3. $u\in W, v\notin W\Rightarrow u+v\notin W;$
   4. $u\notin W, v\notin W\Rightarrow u+v\notin W;$
   5. $u\notin W, v\notin W\Rightarrow u+v\in W;$
4. A valós számhármasok vektorterében alteret alkotnak-e azok az $(x_1,x_2,x_3)$ vektorok, melyekre $x_1=2x_2-3x_3$? (ZH, 2000. nov.)
5. Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak-e (a 3 dimenziós térben)?
   1. $(1,1,1)\in \left<(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\right>$
   2. Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok generátorrendszert alkotnak.
   3. Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok lineárisan függetlenek.
   4. Az $\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ vektorok bázist (lineárisan független generátorrendszert) alkotnak.
   5. A $\{(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1)\}$ vektorok generátorrendszert alkotnak.
   6. A $\{(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1)\}$ vektorok lineárisan függetlenek.
6. Melyek igazak az alábbi állítások közül? (A vektorok egy tetszőleges vektortérből valók.)
   1. Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}$, $v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
   2. Ha $\{u_1,...,u_{100},v_1,...,v_{100}\}$ lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
   3. Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független, akkor $\{u_1+v_1,...$, $u_{100}+v_{100}\}$ is lineárisan független.
   4. Ha $\{u_1+v_1,...,u_{100}+v_{100}\}$ lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ és $\{v_1,...,v_{100}\}$ is lineárisan független.
   5. Ha $u_1,...,u_{100}$ közül bármely 99 vektor lineárisan független, akkor $\{u_1,...,u_{100}\}$ is lineárisan független.
   6. Ha $\{u_1,...,u_{100}\}$ lineárisan független, akkor $\{u_1,u_1+u_2,...,u_1+u_2+...+u_{100}\}$ is lineárisan független.
7. Tegyük fel, hogy egy $V$ vektortér $a$, $b$, $c$ és $d$ elemeire $a+b+c+d=o$ teljesül. ($o$ a vektortér nulleleme.) Melyek igazak az alábbiak közül?
   1. $\left<a,b\right>=\left<a,c\right>$
   2. $\left<a,b\right>=\left<c,d\right>$
   3. $\left<a,b,c\right>=\left<a,c,d\right>$
   4. $\left<a,b,c\right>=\left<a,d\right>$
   5. $\left<a,b,c\right>\supseteq\left<a,d\right>$
8. Tegyük fel, hogy egy $V$ vektortér $a$, $b$ és $c$ elemeire $a\notin\left<b,c\right>$, $b\notin\left<a,c\right>$ és $c\in\left<a,b\right>$. Határozzuk meg a $c$ vektort!
9. Legyenek $W_1$, $W_2$ és $W_3$ alterek $V$-ben. Milyen kapcsolatban áll egymással
   1. $\left<W_1,W_2\right>\cap W_3$ és $\left<W_1\cap W_3,W_2\cap W_3\right>$;
   2. $\left<W_1\cap W_2,W_3\right>$ és $\left<W_1,W_3\right>\cap\left<W_2,W_3\right>$;
   3. $W_1\subseteq W_3$ esetén $\left<W_1,W_2\right>\cap W_3$ és $\left<W_1,W_2\cap W_3\right>$?
10. Legyenek $v_1,v_2,...,v_k$ lineárisan független vektorok. Adjuk meg a $c$ paraméter összes olyan valós értékét, melyre a $v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_{k-1}-v_k,v_k-cv_1$ vektorok lineárisan függetlenek! (ZH. 1998. nov.)
11. Egy tetszőleges $V$ vektortérben adott 2001 darab vektor, amelyekről tudjuk, hogy generátorrendszert alkotnak. Bizonyítsd be, hogy kiválsztható közülük néhány (esetleg mind, esetleg csak egy) úgy, hogy a kiválasztott vektorok bázist alkotnak!
12. Bizonyítsuk be, hogy ha egy vektortérnek van nemtriviális altere, akkor végtelen sok altere van!