\documentclass[12pt]{article}
\voffset=-1cm
\hoffset=-1.5cm
\oddsidemargin=0pt
\textheight=25truecm
\textwidth=19truecm
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\newcommand{\uu}[1]{\underline{#1}}
\title{Első gyakorlat}
\author{}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
2005. szeptember 27.
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Számítsd ki a 
\[
x-2=\frac{-y+3}{2}=z-4\textrm{\ és\ } x+1=\frac{y+7}{3}=-z+5
\]
egyenesek metszéspontját!
\item Számítsd ki a $P(2,1,1)$ pont $x+y-z+1=0$ síktól való távolságát!
\item Oldjuk meg a következő egyenletet.
\[
\frac{x-1974}{30}+\frac{x-1976}{28}+\frac{x-1978}{26}+\frac{x-1980}{24}=
\frac{x-30}{1974}+\frac{x-28}{1976}+\frac{x-26}{1978}+\frac{x-24}{1980}
\]
\item Határozzuk meg a $(2,0,0),(0,-1,0),(0,0,5)$ pontokra illesztett sík
  egyenletét.
\item A $z$ paraméter mely értékei mellett merőleges a $(5,-3,2)$ és $(7,4,z)$
  vektor egymásra?
\item Döntsük el, hogy a valós együtthatós polinomok alábbi részhalmazai
  vektorteret alkotnak-e a szokásos műveletekkel.
\begin{enumerate}
\item $\{f\vert \deg f=100\textrm{\ vagy\ } f=0\}$;
\item $\{f\vert \deg f\le 100\textrm{\ vagy\ } f=0\}$;
\item $\{f\vert \deg f\ge 100\textrm{\ vagy\ } f=0\}$;
\item $\{f\vert f(5)=0\};$
\item $\{f\vert f(5)=1\}$;
\item $\{f\vert f \textrm{\ minden\ együtthatója\ racionális}\}.$
\end{enumerate}
\item Legyen $V=\mathbb{Z}$  a szokásos összeadással, és
  $T=\mathbb{Q}$. Lehet-e a $\odot$ skalárral való szorzást úgy értelmezni,
  hogy vektorteret kapjunk?
\item Legyen $V$ vektortér, $W$ pedig egy nem-triviális altere. Melyek igazak
  az alábbi állítások közül ($\underline{u},\underline{v}\in V,
  \lambda\in\mathbb{R}$)?
\begin{enumerate}
\item $\underline{u}+\underline{v}\in W\Longrightarrow
  \underline{u},\underline{v}\in W$;
\item $\lambda\not=0,\lambda\underline{u}\in W\Longrightarrow \underline{u}\in
  W$;
\item $\underline{u}\in W,\underline{v}\not\in W\Longrightarrow
  \underline{u}+\underline{v}\not\in W$.
\end{enumerate}
\item Legyen $W$ a $V$ vektortér egy altere,
  $\underline{u},\underline{v},\underline{w}\in V$, továbbá tegyük fel, hogy 
\[
\underline{u}+\underline{v}\in W,\ \underline{u}+2\underline{w}\not\in W,\
\underline{w}+3\underline{u}\in W.
\]
Mit állíthatunk az $5\underline{u}+3\underline{v}+\underline{w}$, illetve 
$6\underline{u}+3\underline{v}+\underline{w}$ vektorok és $W$ kapcsolatáról?
\item (*) Bizonyítsuk be, hogy a (valós test feletti) $V$ vektortér nem
  állítható elő véges sok valódi alterének egyesítéseként.
\item Bizonyítsuk be, hogy az $\mathcal{A}=\{\underline{a}_i\colon i\in I\}$
  vektorhalmaz generátuma megegyezik a $V$ vektortér legszűkebb
  $\mathcal{A}$-t  tartalmazó alterével.
\item Legyen $\uu{a},\uu{b},\uu{c}$ egy vektortér lineárisan független
  vektorhármasa. Lineárisan független-e ebben a térben $\uu{a}+\uu{b}$,
  $\uu{a}+\uu{c}$, és $\uu{b}+\uu{c}$?
\item Legyen $\uu{a},\uu{b},\uu{c}$ egy vektortér lineárisan független
  vektorhármasa, $\lambda$ egy skalár. A $\uu{a}+\uu{b}+\uu{c}$,
  $\uu{a}-\uu{b}-\uu{c}$, $\uu{b}-\lambda\uu{c}$ vektorhármas a $\lambda$
  paraméter mely értékeire lesz lineárisan összefüggő, illetve lineárisan
  független?
\item Bizonyítsuk be, hogy ha a $V$ vektortérben az
  $\{\uu{a}_1,\uu{a}_2,\ldots ,\uu{a}_k\}$ lineárisan független rendszer,
  $\{\uu{b}_1,\uu{b}_2,\ldots ,\uu{b}_{k+1}\}$ pedig lineárisan összefüggő
  vektorrendszer, akkor a kettő közül pontosan az egyik bázis.
\item Milyen $p$-re van benne az (1,3,5) vektor a (1,1,0), (0,0,1), $(1,p,1)$
  vektorok által generált altérben?
\item Milyen $a$-ra van megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
\begin{eqnarray*}
x+az&=&3\\
y+z&=&5\\
x+z&=&1\end{eqnarray*}
\item Adjuk meg $p$ és $q$ értékét úgy, hogy az alábbi síkok egy egyenesre
  illeszkedjenek. 
\begin{eqnarray*}
2x+3y-z&=&6\\
x-3y+2z&=&5\\
4x-3y+pz&=&q\end{eqnarray*}
\item Létezik-e olyan egyenes, amelyik az alábbi három sík mindegyikével
  párhuzamos? Ha igen, adjuk meg közülük az origón átmenőt.
\begin{eqnarray*}
2x+4y+3z&=&1\\
x+7y+4z&=&3\\
3x-5y-z&=&2\end{eqnarray*}
\item (*) Tekintsük az összes valós számon értelmezett valós értékű
  függvényeket a \emph{racionális} számok feletti vektortérként, a szokásos
  műveletekre. Legyen ebben $H$ az egész értékű függvények halmaza. Döntsük
  el, hogy az alábbi függvények elemei-e a $H$ által generált $\langle
  H\rangle$ altérnek.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{5}{7},&\textrm{\ ha\ }x\in\mathbb{Q};\\
\frac{3}{8},&\textrm{\ ha\ }x\not\in\mathbb{Q}.
\end{array}\right.$
\item $g(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x},&\textrm{\ ha\ }x\in\mathbb{N};\\
0,& \textrm{\ egyébként}.
\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\item (*) Tekintsük a valós számokat a \emph{racionális} számok feletti
  vektortérként, a szokásos műveletekkel. Bizoyítsuk be, hogy különböző
  prímszámok rögzített alapú logaritmusai mindig lineárisan függetlenek.
\item (*) Tekintsük a valós számokat a \emph{racionalis} számok feletti
  vektortérként, a szokásos műveletekkel. Tegyük fel, hogy egy $\alpha$ valós
  szám pozitív egész kitevőjű hatványai $k$ dimenziós alteret
  generálnak. Mekkora az a legkisebb $j$ fok, hogy az $\alpha$ szám egy $j$-d
  fokú egész együtthatós polinom gyöke?
\item (**) Legyen $V$ egy 100-dimenziós vektortér a valós számok felett. Hány
  olyan vektor létezik $V$-ben, melyek közül \emph{bármely} 100 bázist alkot?
\item (**) A \emph{Fibonacci-számok} sorozatát a
\begin{equation}\label{rek}
f_0=f_1=1,\quad f_{i+1}=f_i+f_{i-1},\ i=1,2,\dots
\end{equation}
rekurzióval definiáljuk. Adjunk explicit képletet $f_n$-re.
\emph{Útmutatás:} A (\ref{rek})-t kielégítő valós számsorozatok vektorteret alkotnak.
\item Egy $V$ vektortér $\uu{a}_1,\uu{a}_2,\ldots ,\uu{a}_k$ elemeiről tudjuk,
  hogy az $\uu{a}_i+\uu{a}_j$, $1\le i<j\le k$ vektorok bázis alkotnak
  $V$-ben. Mekkora lehet $V$ dimenziója?
\end{enumerate}
\end{document}
