\documentclass[12pt]{article}
\voffset=-1.3in
\hoffset=-1.5cm
\oddsidemargin=0pt
\textheight=25truecm
\textwidth=19truecm
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\uu}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\mo}[1]{}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\title{Harmadik gyakorlat}
\author{}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
2005. szeptember 20.
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Van-e a kilencedik egységgyökök között pontosan hat, melyek öszege 0? És
  hét?
\item Bizonyítsuk be, hogy az 1995-ik egységgyökök között van 876, melyek
  öszege 0. 
\item A $z$ komplex számra $1+z+z^2=0$. Igazoljuk, hogy
  $z^{65}+z^{-65}=i^{66}$.
\item Mi a mértani helye a komplex számsíkon a $\frac{1+ti}{1-ti}$ alakú
  számoknak, ha $t$ befutja a valós számok halmazát? Ugyanez a kérdés
  $\frac{1+ti}{t+i}$-vel? 
\item Igazoljuk, hogy ha $z+\frac{1}{z}=2\cos\theta$, akkor
$z^m+\frac{1}{z^m}=2\cos m\theta.$ \mo{ha $z=\cos\alpha\pm j\sin\alpha$, 
akkor $\frac{1}{z}=\cos\alpha\mp j\sin\alpha$}
\item Fejezzük ki $\cos\alpha$ és $\sin\alpha$ segítségével $\cos n\alpha$-t.

\item Adjunk zárt alakot:
\begin{enumerate}
\item $1-{n\choose 2}+{n\choose 4}-{n\choose 6}+\ldots $
\item ${n\choose 1}-{n\choose 3}+{n\choose 5}-{n\choose 7}+\ldots $
\end{enumerate}

\item Legyen $\varepsilon$ egy $2n$-edik primitív egységgyök. Számítsuk ki:
 $1+\varepsilon+\varepsilon^2+\ldots+\varepsilon^n$-t. \mo{$\frac{2}{1-\varepsilon}$}

\item Oldjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszereket:
\[
\begin{array}{rlrl}
\mathrm{(a)}&
\begin{array}[t]{rcr}
a+3b+c+4d&=&-5\\
2a+3b-6c&=&4\\
-a+b+2c-d&=&-6\\
3a+10b+c+d&=&0\end{array}&
\mathrm{(b)}&
\begin{array}[t]{rcr}
x+2y-z-u+v&=&-1\\
x+2y-z+v&=&1\\
-x-y+z+3u-2v&=&2\\
2x+2y-2z-5u+4v&=&-2\\
3x+7y-3z+u+2v&=&2\end{array}\\
\mathrm{(c)}&
\begin{array}[t]{rcr}
x+9y+2z-5u-3v&=&9\\
2y+3u&=&5\\
-2x-4z+u+6v&=&3\\
3x+5y+6z+6u-9v&=&8\\
8y-6u&=&8\end{array}&
\mathrm{(d)}&
\begin{array}[t]{rcr}
a+2b-3c+d+e&=&1\\
a-b+c-3d-2e&=&-1\\
2a+3b-2c+d+4e&=&-1\\
a-2b+2c-d&=&-1\\
-3a+b+c+2d+e&=&1\end{array}
\end{array}
\]
\item Mi az összefüggés $A\uu{x}=0$ és $A\uu{x}=\uu{b}$ megoldásai között?
\item Legyen $\uu{a}=(7,-5,1)$ és $\uu{b}=(8,13,6)$. Bontsuk fel $\uu{b}$-t
  egy $\uu{a}$-val párhuzamos és egy $\uu{a}$-ra merőleges összetevőre.
\item (*) Milyen $m$ és $n$ esetén lesz az alábbi ($n\times n$-es)
  egyenletrendszernek egyértelmű megoldása?
\begin{eqnarray*}
x_1+x_2+\cdots +\ \ \ x_m&=&1\\
x_2+x_3+\cdots +x_{m+1}&=&1\\
\vdots\ \ \ \ \ &\vdots&\vdots\\
x_n+x_1+\cdots +x_{m-1}&=&1\end{eqnarray*}
\item (*) Ákos és Bálint egy pénzdarabot dobálnak, a fejdobás valószínűsége
  $p$. Ákos az $FFI$, Béla az $II$ sorozatra vár. Mekkora a valószínűsége,
  hogy Ákos sorozata következik be előbb?
\item (*) Ákos és Bálint most (egymástól függetlenül) gondol 5-5 egész
  számot. Ákos megkérdezheti a Bálint által gondolt számok közül bármely kett
  összegének a paritását, Bálint pedig Ákos számai közül bármely három
  összegének paritását tudakolhatja meg. Ki tudja-e találni valamelyikük a
  másik által gondolt számok mindegyikének a paritását, és ha igen, akkor
  minimálisan hány kérdéssel tudja ezt megtenni? 
\item Legyen adott az $\{1,2,\ldots ,n\}$ halmaz néhány részhalmaza
  $A_1,A_2,\ldots ,A_m$. Mekkora lehet $m$, ha $A_i\cap A_j\ne\emptyset$?
\item Definiáljuk egy $A$ halmaz $\uu{k}_A$ karakterisztikus vektorát úgy,
  hogy az $i$-ik koordinátája 1, ha $i\in A$, 0 egyébként. Hogyan kahatók meg
  a karakterisztikus vektorok segítségével a halmazok, illetve a páronkénti
  metszetek elemszámai?
\item (*) Bizonyítsuk be, hogy ha $|A_i\cap A_j|=k$ minden $1\le i<j\le m$-re,
  akkor $m\le n$. \textit{Segítség:} Lássuk be először arra az esetre, ha van
  $i$, melyre $|A_i|=k$. Ha ilyen nincs, akkor lássuk be, hogy a
  karakterisztikus vektorok lineárisan függetlenek. 
\item (**) $k=1$ esetén hogy lehet $m=n$?

\end{enumerate}
\end{document}