Bevezetés a számításelméletbe
9. gyakorlat 2002, november 4.
 
 
Lineáris leképezések

 

1. Legyen $A$ egy $n \times k$ méretű mátrix és $\underline{b}$ egy $n$ magas vektor. Melyik igaz az alábbi állítások közül?
   1. Ha az $A$ oszlopai lineárisan függetlenek, akkor az $A\underline{x}=\underline{b}$ egyenletrendszernek létezik megoldása.
   2. Ha az $A$ sorai lineárisan függetlenek, akkor az $A\underline{x}=\underline{b}$ egyenletrendszernek létezik megoldása.

2. Legyen $V_1$ a legfeljebb harmadfokú és $V_2$ a legfeljebb másodfokú polinomok tere. Az ${\cal A} :\ V_1 \rightarrow V_2$ leképezés pedig egy $f(x) \in V_1$ függvényhez $2f''(x)+3f'(x)$-et rendeli. Igazoljuk, hogy lineáris a leképezés! Mi a leképezés kép- illetve magtere? Határozzuk meg ezek dimenzióját is! Írjuk fel a leképezés $[{{\cal A}}]_{B,C}$ mátrixát, ahol
   1. $B=\{ x^3,x^2,x,1\}$ és $C=\{x^2,x,1\}$ bázisai a $V_1$ és $V_2$ tereknek.
   2. Mennyi ${\cal A}(3x^2+5x)$ ? Ezt számítsuk ki mátrixszorzással is!

3. Legyenek ${\cal A} :\ V_1 \rightarrow V_2$ és ${\cal B} :\ V_2 \rightarrow V_3$ lineáris leképezések, amelyekre $\hbox{Ker }{\cal A} \subseteq \hbox{Im }{\cal B}$.
   1. Mivel egyezik meg ${\cal BA}$ leképezés?
   2. Mutassunk példát olyan ${\cal A}$ és ${\cal B}$ transzformációkra, amelyek valamilyen origón átmenő egyenesre történő tükrözések és kielégítik a feladat feltételeit? (Ilyenkor $V_1=V_2=V_3=\mathbb{R}^2.)$

4. Alább egy ${\cal{A}}$ lineáris leképezés mátrixa látható a szokásos bázis(okban) felírva.
   1. Határozzuk meg $\dim(\hbox{Im}({\cal{A}})$ és $\dim(\hbox{Ker}({\cal{A}})$ értékét!
   2. HF Adjuk is meg $\hbox{Im}{(\cal{A})}$ és $\hbox{Ker}({\cal{A}})$ egy-egy bázisát, majd ezek illetve paraméterek segítségével írjuk fel az összes $\hbox{Im}({\cal{A}})$ és $\hbox{Ker}({\cal{A}})$-beli vektort!
      
      $$\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -1 \\ -8 & 0 & -12 & 4 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right)$$
      
      

5. Határozzuk meg közvetlenül a definíciók felhasználásával az ${\it A} \in \hbox{Hom} \mathbb{R}^2$ transzformációk sajátértékeit, a hozzátartozó sajátvektorokat illetve altereket.
   1. ${\it A}$ minden vektort kétszeresére nyújt;
   2. ${\it A}$ minden vektort az $y=2x$ egyenesre merőlegesen vetít, majd háromszorosára nyújt;
   3. HF ${\it A}$ minden vektort az $y$-tengelyre tükröz.

6. Mik a sajátértékei az alábbi mátrixoknak? Válasszunk ki egy tetszőleges sajátértéket és adjuk meg a hozzátartozó sajátvektorokat is (szabad paraméterek segítségével)!
   1. $\left (\begin{array}{ccc}5&0&0\\ 0&1&2\\ 0&1&3\end{array}\right )$
   2. HF $\left (\begin{array}{ccc}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right )$

7. Adjunk meg annak az ${{\cal A}}: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ lineáris leképezésnek az $[{{\cal A}}]_{B,C}$ mátrixát, amely a $2x + 1y +2z=0$ egyenletű sík összes pontját a nullába viszi, és a síkra merőleges vektorokat pedig ötszörösére nyújtja, ahol
   1. $B$ is és $C$ is a szokásos bázis $\mathbb{R}^3$-ban;
   2. $C$ a szokásos bázis továbbá
      
      $$B=\Big \{ \, \left( \begin{array}{r} -3 \\ 6 \\ 0 \end{arra... ...egin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \, \Big \} ;$$
      
      

   3. $B$ is és $C$ is a fent megadott bázis.

8. HF Tekintsük azt a lineáris leképezést, amely tetszőleges pontot az $x+y+z=0$ egyenletű síkra vonatkozó tükörképébe visz. Mi ennek a leképezésnek a mátrixa a szokásos bázisban, melynek elemei az $x$, az $y$ és a $z$ tengely irányába mutató egységvektorok?

9. HF Legyen $P_5$ a legfeljebb ötödfokú valós együtthatós polinomok tere. Vegyük azt az $f: \ P_5 \rightarrow P_5$ leképezést, melynél $f(p(x))=\alpha p'(x) + \beta$ valamely rögzített $\alpha, \beta$ valós számokra. Határozzuk meg az összes olyan $\alpha, \beta$ párt, amire az $f$ leképezés lineáris lesz.
10. HF Egy $V$ vektortér altere $W$. Igazoljuk, hogy létezik olyan ${\cal A}: V \rightarrow V$ lineáris leképezés, melynek
    1. amelynek képtere $W$,
    2. magtere $W$.

11. HF Igazoljuk, hogy bármely ${\cal A}$ lineáris transzformáció esetén ${\cal A}u ={\cal A}v$ pontosan akkor teljesül, ha $u-v \in \hbox{Ker } {\cal A}$.