Bevezetés a számításelméletbe
7. gyakorlat 2002, október 21.
 
 
Inverz, rang

 

1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok inverzét!
   

   $\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right)$

   $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 9\\ 3 & 9 & 19 \end{array}\right)$

   $\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 9 \\ -3 &-7 &-12 \end{array}\right)$

2. Legyen $A$ egy $n \times n$-es invertálható mátrix, $B$ pedig egy olyan $n \times n$-es mátrix, amelyre $AB=0$. Igazoljuk, hogy ekkor $B=0$.
3. Igaz-e, hogy ha az $n \times n$ méretű $A$ és $B$ mátrixoknak létezik inverze, akkor $AB$-nek is létezik?
4. Mennyi az alábbi mátrixok rangja?
   

   $\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

   $\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 0 & 3 \end{array}\right)$

5. Egy egyenest, egy síkot vagy az egész teret generálja az alábbi vektorrendszer?
   
   $$\Big\{ \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\ri... ...\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}\right) \, \Big\}$$
   
   

6. 1. Bizonyítsuk be, hogy egy mátrix egy tetszőleges elemét megváltoztatva a rang legfeljebb eggyel változik!
   2. Igaz-e, hogy bármely $20\times 6$ méretű 5 rangú mátrixban létezik olyan elem, amelyet alkalmasan módosítva a mátrix rangja csökken?
7. HF Határozzuk meg $x$ minden értékére az alábbi mátrix rangját! Milyen $x$-ek esetén lesz a mátrix sorvektorainak rendszere lineárisan független? És az oszlopvektorok rendszere? M ilyen $x$-ek esetén invertálható a mátrix?
   
   $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & x \end{array} \right)$$
   
   

8. HF Bizonyítsuk be, hogy ha egy $n \times n$-es $A$ mátrixban a főátló alatt álló összes elem nulla (vagyis $A$ háromszögmátrix), akkor ugyanez igaz $A$ minden pozitív egész kitevőjű $A^n$ hatványára is.
9. HF Bizonyítsuk be, hogy egy $k \times n$-es mátrixnak akkor és csak akkor 1 a rangja, ha felírható egy oszlop- és egy sorvektor (azaz egy $k \times 1$ és egy $1 \times n$ méretű mátrix) szorzataként!
10. HF Az $n \times n$-es $A$ és $B$ mátrixokra teljesül, hogy $AB = A$ és $BA = B$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $A^2= A$ és $B^2= B$.