Bevezetés a számításelméletbe
4. gyakorlat 2002, szeptember 30.
 
 
Bázis, dimenzió, Gauss-elimináció

 
  1. Hány közös pontja van az alábbi síkoknak?
    (a)
    $2x+3y-2z$ $=$ $4$
    $-3x-4,\!5y+3z$ $=$ $-2$
      (b)
    $x+y+z$ $=$ $6$
    $2x+3y-z$ $=$ $4$
    $-x-y+2z$ $=$ $1$
      (c)
    $x+2y+z$ $=$ $6$
    $2x+4y-z$ $=$ $4$
  2. A $d$ paraméter mely értéke mellett függ lineárisan $v$ az $U$ vektorrendszertől?

    \begin{displaymath}U=\Big\{\,
\left( \begin{array}{r}
1 \\ 2 \\ 0 \\ 0
\end{a...
...eft( \begin{array}{c}
1 \\ 0 \\ 0 \\ d
\end{array} \right).
\end{displaymath}

  3. Bizonyítsuk be, hogy ha a $V$ vektortérben az $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{k}\}$ egy lineárisan független rendszer és a $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_{k+1}\}$ pedig egy generátorrendszer, akkor a két vektorrendszer közül pontosan az egyik bázist alkot $V$-ben!
  4. Az $s$ paraméter mely értéke mellett bázisa $\Re^3$ térnek az alábbi vektorrendszer?

    \begin{displaymath}\Big\{\,
\left( \begin{array}{c}
1 \\ 0 \\ 2
\end{array} \...
...ft( \begin{array}{c}
-1 \\ 3 \\ s
\end{array} \right)
\Big\}\end{displaymath}

  5. A $V$ vektortér két alterének, $V_1$-nek és $V_2$-nek a nullvektor az egyetlen közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy $\dim V_1+\dim V_2 \le\dim V$.
  6. Létezik-e olyan egyenes, amely az adott 3 sík mindegyikével párhuzamos? Ha igen, akkor adjuk meg közülük az origón átmenot.
    $2x+4y+3z$ $=$ $1$    
    $x+7y+4z$ $=$ $3$    
    $3x-5y-z$ $=$ $2$    
  7. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásait az $s$ és $t$ paraméterek függvényében!

    \begin{eqnarray*}
sx+tz&=&2 \\
sx+sy+4z&=&4 \\
sy+2z&=& t
\end{eqnarray*}



  8. HF Oldjuk meg a Gauss-elimináció segítségével az alábbi egyenletrendszereket!
    (a)
    $x+-2y+z$ $=$ $-1$
    $6x+2z$ $=$ $3$
      (b)
    $x+3y-2z$ $=$ $4$
    $2x+8y-2z$ $=$ $-1$
    $3x+13y-3z$ $=$ $2$
  9. HF Adott egy négy ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszer, melynek megoldásainak halmaza ${\cal S}$. Mutassuk meg, hogy ${\cal S}$ alterét alkotja az $\Re^4$ térnek!
  10. HF
    1. Mutassuk meg, hogy az egyváltozós valós függvények terének alterét alkotják az $f(x)=a + b \cos x + c \cos^2 x$ alakú függvények, ahol $a,\, b,\, c$ tetszőleges valós konstansok.
    2. Igazoljuk, hogy a $B_1=\{1,\cos x, \cos^2 x\}$ és a $B_2=\{1,\cos x, \cos 2x\}$ vektorrendszerek bázisai az altérnek.
    3. Írjuk fel a $\frac{\sin^2 x}{2} + \frac{\cos x}{3}$ vektor koordinátáit a két bázisban.




Fogaras Daniel 2002-10-24