Bevezetés a számításelméletbe
3. gyakorlat 2002. szeptember 22.
 
 
Generálás, generátorrendszer, lineáris függetlenség

 

1. Mi a generátuma a térben az $(1,5,6)$ és a $(0,2,4)$ vektoroknak? Vektortér-e az így kapott halmaz?
2. Legyen $U$ egy vektorrendszer, ahol $U=\{\,(4,0,-4), \,(0,1,-1), \,(1,1,-2) \,\}.$ Generálja-e $U$ a $(2,3,-5)$ illetve az $(2,3,5)$ vektorok valamelyikét? Generátorrendszer-e $U$ a valós számhármasok (három magas számoszlopok) terén? Lineárisan független-e a az $U$ vektorrendszer?
3. Tegyük fel, hogy egy (tetszőleges) $V$ vektortér $\underline{a}$, $\underline{b}$ és $\underline{c}$ elemeire $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}= \underline{0}$ fennáll. Igazoljuk, hogy $\langle\underline{a},\underline{b}\rangle=\langle\underline{a},\underline{c}\rangle$ teljesül!
4. Legyen $U$ a $V$ tér legalább két eleméből alkotott vektorrendszer. Melyik igaz az alábbi állítások közül?
   1. Ha $U$ generátorrendszer $V$-ben, akkor $U$ egy tetszőleges vektorát törölve ismét generátorrendszerhez jutunk.
   2. Ha $U$ generátorrendszer $V$-ben, akkor $U$-hoz tetszőleges vektort hozzávéve ismét generátorrendszerhez jutunk.
   3. Ha $U$ lineárisan független, akkor $U$ egy tetszőleges vektorát törölve ismét lineárisan független rendszerhez jutunk.
   4. Ha $U$ lineárisan független, akkor $U$-hoz tetszőleges vektort hozzávéve ismét lineárisan független rendszerhez jutunk.
5. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi vektorrendszer lineárisan független!
   
   $$\Big\{\, \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{arr... ...gin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \, \Big\}$$
   
   

6. Legyen $\underline{a},\, \underline{b}$ és $\underline{c}$ három olyan vektor, melyek lineárisan független vektorrendszert alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy az $\underline{a}+\underline{b},\, \underline{b}+\underline{c}$ és $\underline{c}+\underline{a}$ vektorokból alkotott rendszer is lineárisan független!
7. HF Tegyük fel, hogy egy (tetszőleges) $V$ vektortér $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ és $\underline{d}$ elemeire $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}+\underline{d}= \underline{0}$. Melyek igazak az alábbi állítások közül?
   1. $\langle\underline{a},\underline{b}\rangle=\langle\underline{a},\underline{c}\rangle$;
   2. $\langle\underline{a},\underline{b}\rangle=\langle\underline{c},\underline{d}\rangle$;
   3. $\langle\underline{a},\underline{b},\underline{c}\rangle=\langle\underline{a},\underline{c},\underline{d}\rangle$;
   4. $\langle\underline{a},\underline{b},\underline{c}\rangle=\langle\underline{a},\underline{d}\rangle$.
8. HF Legyenek $\underline{a}$, $\underline{b}$, $\underline{c}$ lineárisan független vektorok és $\lambda$ skalár egy vektortérben. Elkészítjük az $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$, $\underline{a}-\underline{b}-\underline{c}$, $\underline{b}-\nu{\underline{c}}$ vektorokat. Határozzuk meg, hogy a $\nu$ skalár mely értékei mellett lesz ez utóbbi három vektor lineárisan független!
9. HF Az $U := \{ \underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k} \}$ egy lineárisan független vektorrendszer, továbbá $\underline{x}:=\sum_{i=1}^{k}{c_{i}\underline{a}_i}$ egy vektor, valamely $c_i$ skalárokkal. Bizonyítsuk be, hogy $\underline{a}_1\in \langle \underline{x},\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k} \rangle$ akkor és csak akkor teljesül, ha $c_1\neq 0$.
10. HF Az $\underline{a}$, $\underline{b}$ és $\underline{c}$ vektorok elemei, $V$ pedig altere egy $\Re$ feletti véges dimenziós vektortérnek, továbbá $\underline{a}+\underline{b}\in{V}$, $\underline{c}+3\underline{a}\in{V}$, de nem igaz, hogy $\underline{b}+2\underline{c}\in{V}$. Mutassuk meg, hogy $6\underline{a}+3\underline{b}+\underline{c}\in{V}$, de nem igaz, hogy $5\underline{a}+3\underline{b}+\underline{c}\in V \,$!.