\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-1.5cm}
\addtolength\textwidth{5.6cm}
\addtolength\hoffset{-0.9cm}
\addtolength\textheight{5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe II.}
\\\vspace*{1mm}
14. gyakorlat, 2007. május 16.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{12mm}
\textbf{\LARGE Gyűrűk, testek}
\end{center}

\vspace*{9mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{137}

\item Állapítsuk meg, hogy az alábbi struktúrák közül melyik
gyűrű. Ha gyűrű, akkor döntsük el, hogy kommutatív, egységelemes
illetve nullosztómentes-e. (Ha kommutatív és nullosztómentes,
akkor integritási tartománynak hívjuk.) Továbbá ha egységelemes és
nullosztómentes is, akkor nézzük meg, hogy ferdetestről, esetleg
testről van-e szó.
\begin{enumerate}
\item $\{ a+b \sqrt{2}:a,b \in \mathbb{Q} \}$;
%\item $\{ a+b \sqrt[3]{2}:a,b \in \mathbb{Q} \}$;
%\item $\{ \frac{a}{3^n}+b :a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$;
%\item $\{ a+b i:a,b \in \mathbb{Z}, ab=0 \}$;
%\item $\{ a_n x^n+\dots +a_2 x^2:a_n,\dots,a_2 \in \mathbb{R}\}$;
%\item $\{ a_n x^n+\dots +a_2+a_0 x^2:a_n,\dots,a_2,a_0 \in \mathbb{R}\}$;
%\item $\{ a+b i:a,b \in \mathbb{Z}, b \text{ páros} \}$;
%\item $\{ a+b i:a,b \in \mathbb{Z}, a \text{ páros} \}$;
\item az egész együtthatós polinomok;
\item $\{ 0,1,\ldots,n-1 \}$ a modulo $n$ összeadással és szorzással;
\item a $4 \times 4$-es mátrixok;
\item a $4 \times 4$-es mátrixok, melyek determinánsa nem nulla, valamint a
$4 \times 4$-es nulla mátrix;
\item $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ a szokásos összeadással és szorzással;
\item A páros számok (általában az $m$-mel osztható egész számok) a szokásos összeadással és szorzással;
\item Az $n\times n$-es mátrixok $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ felett a szokásos mátrixösszeadással és mátrixszorzással;
\item A polinomok $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ felett a szokásos polinomösszeadással és polinomszorzással;
\item Egy $H$ halmaz részhalmazai, az unió és a metszet műveletekkel;
\item Egy $H$ halmaz részhalmazai, a szimmetrikus differencia és a metszet műveletekkel;
\item Az adott intervallumon értelmezett folytonos függvények, a képeken végrehajtott összeadással és szorzással;
%\item Az $n$-nel vett osztási maradékok, a szokásos összeadással és szorzással;
%\item A kvaterniók alkotta struktúra;
\item A valós számpárok, az elemenkénti összeadással és szorzással.
%\item A $p+q\sqrt{2}$ alakban felírható számok, ahol $p$ és $q$ racionális, a szokásos összeadással és szorzással.
\end{enumerate}

\item Egy $x \ne 0$ gyűrűelem baloldali nullosztó, ha $\exists y\ne 0$, hogy
$xy=0$. Legyen $x_1$ és $x_2$ baloldali nullosztó. Bizonyítsuk be, hogy
$x_1x_2$ is baloldali nullosztó, de $x_1+x_2$ nem feltétlenül az!

\item Adjunk példát az $n \times n$-es mátrixok gyűrűjében nullosztókra!

\item Bizonyítsuk be, hogy kommutatív testben minden elemnek legfeljebb két
négyzetgyöke lehet.

\item Legyen az $R$ gyűrűben $0$ az additív neutrális elem.
\begin{enumerate}
\item Lássuk be, hogy tetszőleges $a$ elemre $0a = a0 = 0$;
\item Azt is lássuk be, hogy tetszőleges $a, b$ elemekre $(-a)b = -ab$.
\end{enumerate}

\item $A$ az $R$ gyűrű azon elemeiből áll, amelyekre $a*r = r*a$, minden $r \in R$ esetén.
Bizonyítsuk be, hogy $A$ részgyűrűje $R$-nek.

\item Legyen $R$ egy egységelemes integritási tartomány, és $r$ egy eleme, amelyre $r*r = r$.
Lássuk be, hogy ekkor $r = 0$ vagy $r = 1$.

%\item Készítsd el a $4$, $8$ és $9$ elemű test műveletttáblázatait.

%\item Egy $T$ test karakterisztikája $p$, ha tetszőleges $a \in T$-re $\underbrace{a+a+\cdots +a}=0$.
%Bizonyítsd be, hogy egy $p$-karakterisztikájú testben tetszőleges $a,b \in T$-re igaz: $(a+b)^p=a^p+b^p$.

\end{enumerate}

\end{document}
