Bevezetés a számításelméletbe II.

14. gyakorlat, 2007. május 16.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Gyűrűk, testek

138. Állapítsuk meg, hogy az alábbi struktúrák közül melyik gyűrű. Ha gyűrű, akkor döntsük el, hogy kommutatív, egységelemes illetve nullosztómentes-e. (Ha kommutatív és nullosztómentes, akkor integritási tartománynak hívjuk.) Továbbá ha egységelemes és nullosztómentes is, akkor nézzük meg, hogy ferdetestről, esetleg testről van-e szó.

(a) \{a + b\sqrt{2} : a, b ∈ ℚ\};

(b) az egész együtthatós polinomok;

(c) {0, 1, …, n − 1} a modulo n összeadással és szorzással;

(d) a 4 × 4-es mátrixok;

(e) a 4 × 4-es mátrixok, melyek determinánsa nem nulla, valamint a 4 × 4-es nulla mátrix;

(f) ℤ, ℚ, ℝ, ℂ a szokásos összeadással és szorzással;

(g) A páros számok (általában az m-mel osztható egész számok) a szokásos összeadással és szorzással;

(h) Az n × n-es mátrixok ℤ, ℚ, ℝ, ℂ felett a szokásos mátrixösszeadással és mátrixszorzással;

(i) A polinomok ℤ, ℚ, ℝ, ℂ felett a szokásos polinomösszeadással és polinomszorzással;

(j) Egy H halmaz részhalmazai, az unió és a metszet műveletekkel;

(k) Egy H halmaz részhalmazai, a szimmetrikus differencia és a metszet műveletekkel;

(l) Az adott intervallumon értelmezett folytonos függvények, a képeken végrehajtott összeadással és szorzással;

(m) A valós számpárok, az elemenkénti összeadással és szorzással.

139. Egy x ≠ 0 gyűrűelem baloldali nullosztó, ha ∃y ≠ 0, hogy xy = 0. Legyen x_{1} és x_{2} baloldali nullosztó. Bizonyítsuk be, hogy x_{1}x_{2} is baloldali nullosztó, de x_{1} + x_{2} nem feltétlenül az!

140. Adjunk példát az n × n-es mátrixok gyűrűjében nullosztókra!

141. Bizonyítsuk be, hogy kommutatív testben minden elemnek legfeljebb két négyzetgyöke lehet.

142. Legyen az R gyűrűben 0 az additív neutrális elem.

(a) Lássuk be, hogy tetszőleges a elemre 0a = a0 = 0;

(b) Azt is lássuk be, hogy tetszőleges a, b elemekre (−a)b = −ab.

143. A az R gyűrű azon elemeiből áll, amelyekre a ∗ r = r ∗ a, minden r ∈ R esetén. Bizonyítsuk be, hogy A részgyűrűje R-nek.

144. Legyen R egy egységelemes integritási tartomány, és r egy eleme, amelyre r ∗ r = r. Lássuk be, hogy ekkor r = 0 vagy r = 1.