Bevezetés a számításelméletbe II.

11. gyakorlat, 2007. április 25.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Csoportok II.

117. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számhoz található n elemű csoport, és hogy végtelen sok n-re teljesül, hogy az n elemű csoportok izomorfak.

118. Bizonyítsuk be, hogy minden k pozitív egész szám esetén létezik olyan csoport, amelynek pontosan k darab részcsoportja van!

119. A G csoport a, b és c elemei különböznek az e egységtől és a^{3} = b^{5} = c^{7} = e. Lássuk be, hogy G-nek legalább 100 eleme van.

120. Hány részcsoportja van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

121. Bizonyítsuk be, hogy minden k pozitív egész szám esetén létezik olyan csoport, amelynek pontosan k darab részcsoportja van!

122. Egy csoport rendje 81 és van olyan eleme, melynek 27. hatványa nem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív.

123. Bizonyítsuk be, hogy ha a G csoport rendje 55, akkor minden a ∈ G elemére teljesül, hogy az a és a^{8} elemek rendje azonos.

124. Tekintsünk egy páratlan rendű Abel-csoportot, melyben a műveletet összeadásnak nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy az összes elem összege 0.

125. Igaz-e az alábbi két állítás?

(a) Ha egy tetszőleges véges G csoportban van 2 rendű elem, akkor G rendje páros.

(b) Ha egy tetszőleges véges G csoport rendje páros, akkor G-ben van 2 rendű elem.

126. Írjuk fel az ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 6 & 5 & 2 & 8 \end{matrix} ) permutáció ciklusfelbontását! Számoljuk ki a második, harmadik ill. negyedik hatványát a ciklusfelbontás alapján! Mi az a legkisebb n, amelyre ezen permutáció n-edik hatványa az identitás?

127. Igazoljuk, hogy a következő halmazok S_{n}-nek generátorrrendszerei:

(a) {(1 2), (1 3), …, (1 n)}; (b) {(1 2), (2 3), …, (n − 1 n)}; (c) {(1 2), (1 2 3 … n)}.

128. Bizonyítsuk be, hogy a páros permutációk egy részcsoportot alkotnak S_{n}-ben!

129. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos tetraéder szimmetriacsoportja izomorf S_{4}-gyel!

130. Határozzuk meg az S_{3} csoport összes részcsoportját. Adjuk meg mindegyikhez a bal és jobb oldali mellékosztályokat.