\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-1cm}
\addtolength\textwidth{4.7cm}
\addtolength\hoffset{-0.5cm}
\addtolength\textheight{6cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\newcommand{\ve}{\underline}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
8. gyakorlat, 2006. november 8.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{15mm}
\textbf{\LARGE Magtér és képtér – Sajátcuccok}
\end{center}

\vspace*{7mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{78}

\item Adjuk meg a $p$ valós paraméter függvényében a
$\left(\begin{array}{ccc}
2 & 4 & 2p \\
1 & p & 2
\end{array}\right)$
mátrixú lineáris leképezés képterét és magterét.

\item Vizsgáljuk a háromdimenziós tér alábbi transzformációit. Lineárisak-e?
Ha igen, írjuk fel a mátrixukat, illetve határozzuk meg a képterüket és
magterüket, valamint ezek dimenzióját is. \\ ~ \\
\begin{tabular}{ll}
(a) az identitás-transzformáció, &
(b) a zérus-transzformáció, \\
(c) a $z$ tengely körüli 90 fokos elforgatás, &
(d) az $y$ tengely körüli $\alpha$ szögű elforgatás, \\
(e) az $x$ tengelyre való vetítés, &
(f) az $y$–$z$ síkra való vetítés.
\end{tabular}

\item A legfeljebb tizedfokú valós együtthatós polinomok körében
értelmezett deriválásnak, mint lineáris transzformációnak mi a képtere
illetve magtere? Mik a sajátvektorai és sajátértékei?

\item Igazoljuk, hogy bármely $A$ lineáris leképezés esetén tetszőleges
$\ve{u},\ve{v}$ vektorokra $A(\ve{u})=A(\ve{v})$ akkor és
csak akkor igaz, ha $\ve{u}-\ve{v}\in Ker A$.

\item Legyen az $A$ mátrix által a $V$ vektortéren megvalósított lineáris
transzformáció olyan, hogy $Ker A$ tartalmazza $Im A$-t. Mutassuk meg,   
hogy ekkor $A^2=0$.

\item Keressünk olyan másodrendű valós mátrixot, amelynek négyzete a
nullmátrix.

\item Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.
\vspace{-0.3cm}
\begin{center}
 $\left(
 \begin{array}{ccc}
  0 & 0 & -2 \\
  3 & -2 & -3 \\
  6 & -6 & 1
 \end{array}
 \right)$
\end{center}

\item Keressünk olyan $2\times 2$-es, illetve $3\times 3$-as valós mátrixot,
melynek nincsen valós sajátértéke.

\item A négyzetes $A$ mátrixra $A=A^3$. Bizonyítsuk be, hogy $A$-nak van
sajátvektora, és sajátértékei csak a $-1$, $0$, $1$ lehetnek.
% Ha A nem invertálható, akkor a 0 sajátérték.
% Ha A invertálható, akkor A^2=E, tehát (A+E)(A-E)=0, így A+E és A-E
% legalább egyike nulla determinánsú. Ha az előbbi, akkor a -1, ha az
% utóbbi, akkor az 1 sajátérték.

\end{enumerate}
\end{document}
