Bevezetés a számításelméletbe I.

8. gyakorlat, 2006. november 8.

                                      Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Magtér és képtér – Sajátcuccok

79. Adjuk meg a p valós paraméter függvényében a ( \begin{matrix}2 & 4 & 2p \\ 1 & p & 2 \end{matrix} ) mátrixú lineáris leképezés képterét és magterét.

80. Vizsgáljuk a háromdimenziós tér alábbi transzformációit. Lineárisak-e? Ha igen, írjuk fel a mátrixukat, illetve határozzuk meg a képterüket és magterüket, valamint ezek dimenzióját is.

(a) az identitás-transzformáció,  (b) a zérus-transzformáció,
(c) a z tengely körüli 90 fokos elforgatás, (d) az y tengely körüli α szögű elforgatás,
(e) az x tengelyre való vetítés,  (f) az y–z síkra való vetítés.

81. A legfeljebb tizedfokú valós együtthatós polinomok körében értelmezett deriválásnak, mint lineáris transzformációnak mi a képtere illetve magtere? Mik a sajátvektorai és sajátértékei?

82. Igazoljuk, hogy bármely A lineáris leképezés esetén tetszőleges \underline{u}, \underline{v} vektorokra A(\underline{u}) = A(\underline{v}) akkor és csak akkor igaz, ha \underline{u} − \underline{v} ∈ KerA.

83. Legyen az A mátrix által a V vektortéren megvalósított lineáris transzformáció olyan, hogy KerA tartalmazza ImA-t. Mutassuk meg, hogy ekkor A^{2} = 0.

84. Keressünk olyan másodrendű valós mátrixot, amelynek négyzete a nullmátrix.

85. Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.

( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 3 & −2 & −3 \\ 6 & −6 & 1 \end{matrix} )

86. Keressünk olyan 2 × 2-es, illetve 3 × 3-as valós mátrixot, melynek nincsen valós sajátértéke.

87. A négyzetes A mátrixra A = A^{3}. Bizonyítsuk be, hogy A-nak van sajátvektora, és sajátértékei csak a −1, 0, 1 lehetnek.