\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-1.5cm}
\addtolength\textwidth{4.8cm}
\addtolength\hoffset{-0.5cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
6. gyakorlat, 2006. október 18.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace{11mm}
\textbf{\LARGE Mátrixok inverze, rangja}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{65}

\item Igaz-e, hogy ha az $n\times n$-es méretű $A$ és $B$ mátrixoknak
létezik inverze, akkor $AB$-nek is létezik? Hogyan számítható ki a szóban
forgó $(AB)^{-1}$ mátrix $A^{-1}$ és $B^{-1}$ segítségével?

\item Legyen $A$ egy $n\times n$-es invertálható mátrix, $B$ pedig egy olyan
$n\times n$-es mátrix, amelyre $AB=0$. Igazoljuk, hogy ekkor $B=0$.

\item Egy $n\times n$-es $A\ne 0$ mátrix minden sorában az elemek összege 0.
Bizonyítsuk be, hogy $A$ (bal oldali) nullosztó, és adjunk is meg olyan
$B\ne 0$ mátrixot, melyre $AB=0$.

\item Bizonyítandó, hogy ha $A$ és $B$ $n$-edrendű kvadratikus (vagyis
$n\times n$-es négyzetes) felcserélhető (tehát $AB=BA$) és invertálható
mátrixok, akkor $A^{-1}=B^{-1}A^{-1}B$.

\item Az $A$ és $B$ azonos méretű invertálható négyzetes mátrixokra,
valamint a velük azonos méretű $E$ egységmátrixra $A^2=E$ és $ABA^{-1}=B^3$.
Bizonyítsuk be, hogy $B^8=E$.

\item Hány $k\times k$-as aldetermináns található egy $n\times m$-es
mátrixban?

\item Bizonyítsuk be, hogy egy mátrix egy elemét megváltoztatva a rang
legfejlebb $1$-gyel változik.

\item Igaz-e, hogy bármely mátrixban van olyan elem, amelyet alkalmasan
módosítva a mátrix rangja megváltozik?
% Megoldás:
% Nem igaz. Vegyünk pl. 3D-ben 4 oszlopvektort, melyek közül bármely 3 lin.
% ftlen. Az ezekből összerakott 3x4-es mátrix rangja 3, és bármely elem
% megváltoztatása után is 3 marad, mivel a 3 érintetlenül hagyott oszlop
% továbbra is lin.ftlen lesz.
% Négyzetes mátrixokra igaz. Ha a rang n vagy n-1, akkor létezik
% (n-1)x(n-1)-es aldetermináns, ami nem nulla. Az ehhez tartozó elem
% megváltoztatásával az egész mátrix determinánsa tetszés szerint
% beállítható 0-ra (n-es kezdeti rang esetén, n-1-re csökkentve a rangot)
% vagy nem 0-ra (n-1-es kezdeti rang, n-re növelve a rangot). Ha a rang
% legfeljebb n-2, akkor a következő feladatban az 50->51 irány indoklása
% miatt növelhető a rang.

\item Egy $100\times 100$-as $\mathbb{R}$ feletti mátrix rangja $50$.
Elérhető-e mindig egy alkalmas elem megváltoztatásával, hogy a rang $49$-re,
illetve $51$-re változzon?
% Megoldás:
% 49 nem mindig érhető el. Vegyünk 50 darab lin.ftlen 100 magas
% oszlopvektort, mindegyiket írjuk le kétszer. Nyilván egy elem
% megváltoztatása után is marad (legalább) 50 lin.ftlen oszlop.
% 51 mindig elérhető. Vegyünk 50 lin.ftlen sort, meg még egy (ezektől
% különböző) tetszőleges sort. Állítás: ebben a még egy rögzített sorban
% megfelelően módosítható egy elem. Növeljük meg az első elemét 1-gyel. Ha
% lin.ftlen lett az előző 50 sortól, akkor nyertünk. Ha összefügg, akkor
% ezen 51 sor eredeti verziójának a lin.kombjaként előáll az (1,0,0,0,...)
% vektor (vegyük az első 50 vektor azon lin.kombját, ami a módosított 51.
% sort adja ki, ez a lin.komb mínusz az eredeti 51. sor adja ezt az
% egységvektort). Ugyanezt a többi elemre is eljátszva az jön ki, hogy az 51
% vektor lin.kombjaként mind a 100 egységvektor előállítható, vagyis 51
% vektor 100 dimenziós teret feszít ki.

\item Határozzuk meg az alábbi mátrixok rangját, és – ha van – az inverzét.
\vspace{-0.3cm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}
  $\left(
  \begin{tabular}{ccc}
   3 & 1 & 15 \\
   6 & 2 & 10 \\
   -9 & -3 & 15
  \end{tabular}
  \right)$ &
  \hspace{1cm} &
  $\left(
  \begin{tabular}{ccc}
   2 & 3 & 7 \\
   8 & 5 & 6 \\
   10 & 1 & -9
  \end{tabular}
  \right)$ &
  \hspace{1cm} &
  $\left(
  \begin{tabular}{ccc}
   1 & 2 & 5 \\
   8 & 3 & 4 \\
   7 & 9 & 6
  \end{tabular}
  \right)$ &
  \hspace{1cm} &
  $\left(
  \begin{tabular}{cccc}
   1 & 4 & 9 & 16 \\
   4 & 9 & 16 & 25 \\
   9 & 16 & 25 & 36 \\
   16 & 25 & 36 & 49
  \end{tabular}
  \right)$
 \end{tabular}
\end{center}

\item Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges (egymással összeszorozható) $A$ és
$B$ mátrixra $r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}$.

\item Legyen $A$ egy tetszőlges $m\times n$-es mátrix, $B$ pedig egy olyan
$n\times n$-es mátrix, amelyre $|B|=0$. Bizonyítsuk be, hogy $r(AB)<n$.

\item Legyen $A$ egy $6\times 5$-ös mátrix. Melyek igazak az
alábbi állítások közül?
\begin{enumerate}
\item Ha az első 3 sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső $3\times
3$-as aldetermináns 0.
\item Ha a bal felső $3\times3$-as aldetermináns 0, akkor az első 3 sor
lineárisan összefüggő.
\item Ha az első 3 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 3 oszlop is
lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
\item  Ha az első 2 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 2 oszlop is
lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
