Bevezetés a számításelméletbe I.

6. gyakorlat, 2006. október 18.

                                      Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Mátrixok inverze, rangja

66. Igaz-e, hogy ha az n × n-es méretű A és B mátrixoknak létezik inverze, akkor AB-nek is létezik? Hogyan számítható ki a szóban forgó (AB)^{−1} mátrix A^{−1} és B^{−1} segítségével?

67. Legyen A egy n×n-es invertálható mátrix, B pedig egy olyan n×n-es mátrix, amelyre AB = 0. Igazoljuk, hogy ekkor B = 0.

68. Egy n × n-es A ≠ 0 mátrix minden sorában az elemek összege 0. Bizonyítsuk be, hogy A (bal oldali) nullosztó, és adjunk is meg olyan B ≠ 0 mátrixot, melyre AB = 0.

69. Bizonyítandó, hogy ha A és B n-edrendű kvadratikus (vagyis n × n-es négyzetes) felcserélhető (tehát AB = BA) és invertálható mátrixok, akkor A^{−1} = B^{−1}A^{−1}B.

70. Az A és B azonos méretű invertálható négyzetes mátrixokra, valamint a velük azonos méretű E egységmátrixra A^{2} = E és ABA^{−1} = B^{3}. Bizonyítsuk be, hogy B^{8} = E.

71. Hány k × k-as aldetermináns található egy n × m-es mátrixban?

72. Bizonyítsuk be, hogy egy mátrix egy elemét megváltoztatva a rang legfejlebb 1-gyel változik.

73. Igaz-e, hogy bármely mátrixban van olyan elem, amelyet alkalmasan módosítva a mátrix rangja megváltozik?

74. Egy 100 × 100-as ℝ feletti mátrix rangja 50. Elérhető-e mindig egy alkalmas elem megváltoztatásával, hogy a rang 49-re, illetve 51-re változzon?

75. Határozzuk meg az alábbi mátrixok rangját, és – ha van – az inverzét.

( \begin{matrix}3 & 1 & 15 \\ 6 & 2 & 10 \\ -9 & -3 & 15 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 6 \\ 10 & 1 & -9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 5 \\ 8 & 3 & 4 \\ 7 & 9 & 6 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{matrix} )

76. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges (egymással összeszorozható) A és B mátrixra r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}.

77. Legyen A egy tetszőlges m×n-es mátrix, B pedig egy olyan n×n-es mátrix, amelyre |B| = 0. Bizonyítsuk be, hogy r(AB) < n.

78. Legyen A egy 6 × 5-ös mátrix. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

(a) Ha az első 3 sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső 3 × 3-as aldetermináns 0.

(b) Ha a bal felső 3 × 3-as aldetermináns 0, akkor az első 3 sor lineárisan összefüggő.

(c) Ha az első 3 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 3 oszlop is lineárisan összefüggő, akkor r(A) ≤ 3.

(d) Ha az első 2 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 2 oszlop is lineárisan összefüggő, akkor r(A) ≤ 3.