\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2.5cm}
\addtolength\textwidth{4.8cm}
\addtolength\hoffset{-0.5cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
5. gyakorlat, 2006. október 11.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace{11mm}
\textbf{\LARGE Vektorok szorzása – Mátrixok}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{49}

\item Legyen $a=(1,2,3)$, $b=(2,-1,3)$ és $c=(-1,2,-3)$. Számoljuk ki az
$ab$, $bc$ és $ca$ skaláris szorzatokat, az $a\times b$, $b\times c$,
$c\times a$ és $a\times c$ vektoriális szorzatokat, valamint az $abc$
vegyesszorzatot.

\item Igazoljuk, hogy ha egy tetraéder két szemköztes élpárja merőleges
egymásra, akkor a harmadik is.

\item Számoljuk ki az $(1,1,1)$, $(2,1,4)$, $(1,4,1)$ és $(3,1,3)$ csúcsok
által kifeszített tetraéder térfogatát.

\item Két kitérő egyenesen mozog egy-egy adott hosszúságú szakasz.
Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott tetraéder térfogata nem
változik eközben.

\item Végezzünk el sok-sok mátrixszorzást gyakorlásképp!

\item Legyen $A$ egy $n\times n$-es mátrix, $x,y$ pedig $n$ magas
oszlopvektorok. Bizonyítsuk be, hogy ha $x\ne y$, de $Ax=Ay$, akkor $|A|=0$.

\item Igaz-e, hogy ha $A$, $B$ és $C$ $n\times n$-es mátrixok, $A\neq 0$,
valamint $AB=AC$, akkor $B=C$?

\item Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az $X^2=-I$
egyenlet?

\item Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak tetszőleges
$A$ négyzetes mátrixra.
\begin{enumerate}
\item Ha van olyan $k\geqslant 1$ egész szám, amelyre $A^k=0$, akkor
$|A|=0$.
\item Ha $|A|=0$, akkor van olyan $k\geqslant 1$ egész szám, amelyre
$A^k=0$.
\end{enumerate}

%\item Igaz-e, hogy ha az $n\times n$-es méretű $A$ és $B$ mátrixoknak
%létezik inverze, akkor $AB$-nek is létezik?

%\item Legyen $A$ egy $n\times n$-es invertálható mátrix, $B$ pedig egy olyan
%$n\times n$-es mátrix, amelyre $AB=0$. Igazoljuk, hogy ekkor $B=0$.

%\item Bizonyítandó, hogy ha $A$ és $B$ $n$-edrendű kvadratikus (vagyis
%$n\times n$-es négyzetes) felcserélhető (tehát $AB=BA$) és invertálható
%mátrixok, akkor $A^{-1}=B^{-1}A^{-1}B$.

\item Mutassuk meg, hogy tetszőleges szigorú felső háromszögmátrixnak
valamelyik pozitív egész kitevős hatványa nullmátrix.

%\item Egy $100\times 100$-as $\mathbb{R}$ feletti mátrix rangja $50$.
%Elérhető-e mindig egy alkalmas elem meg\-vál\-toz\-ta\-tá\-sá\-val, hogy a
%rang $49$-re, illetve $51$-re változzon?

\item Adjuk meg az összes olyan $B$ mátrixot, amire az
$$A=\left( \begin{tabular}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{tabular} \right)$$
mátrix esetén $AB=BA$ teljesül.

%\item Mennyi lehet az $A$ mátrix determinánsa, ha tudjuk, hogy $5A-A^2=6E$,
%ahol $E$ az egységmátrixot jelöli?
% XXX ez hogy van???

\item Számoljuk ki az alábbi mátrix 2007. hatványát:
$$\left( \begin{tabular}{cc} 5 & 7 \\ -3 & -5 \end{tabular} \right)$$

\item A $100\times 100$-as $A$ mátrix főátlójában és a 100. sorában
mindenhol 1-es áll, az összes többi eleme 0. Határozzuk meg az $A^{100}$
mátrixot.

\item Tetszőleges valós $t$ és pozitív egész $k$ számra számoljuk ki az
alábbi mátrixot:
$$\left( \begin{tabular}{cc} 1 & t \\ 0 & 2 \end{tabular} \right)^k$$

\item Bizonyítsuk be, hogy ha a kvadratikus $A$ mátrixra és a vele azonos
rendű $E$ egység- és $0$ zérusmátrixra $A^2+A+E=0$, akkor $A$
% nem szinguláris. ----- ez a fogalom még nem igazán szerepelt idén -----
determinánsa nem 0. Számítsuk ki $A^{2007}$-t.

\item Mutassuk meg, hogy ha $A$ kvadratikus és $E$ ugyanolyan rendű
egységmátrix, továbbá valamely $k$ egészre $A^k$ zérusmátrix, akkor $E-A$
invertálható.

%\item Határozzuk meg az alábbi mátrixok rangját, és – ha van – az inverzét.
%\vspace{-0.3cm}
%\begin{center}
% \begin{tabular}{ccccccc}
%  $\left(
%  \begin{tabular}{ccc}
%   3 & 1 & 15 \\
%   6 & 2 & 10 \\
%   -9 & -3 & 15
%  \end{tabular}
%  \right)$ &
%  \hspace{1cm} &
%  $\left(
%  \begin{tabular}{ccc}
%   2 & 3 & 7 \\
%   8 & 5 & 6 \\
%   10 & 1 & -9
%  \end{tabular}
%  \right)$ &
%  \hspace{1cm} &
%  $\left(
%  \begin{tabular}{ccc}
%   1 & 2 & 5 \\
%   8 & 3 & 4 \\
%   7 & 9 & 6
%  \end{tabular}
%  \right)$ &
%  \hspace{1cm} &
%  $\left(
%  \begin{tabular}{cccc}
%   1 & 4 & 9 & 16 \\
%   4 & 9 & 16 & 25 \\
%   9 & 16 & 25 & 36 \\
%   16 & 25 & 36 & 49
%  \end{tabular}
%  \right)$
% \end{tabular}
%\end{center}

%\item Kiszámítandó az $s$ és $t$ paraméterek értéke úgy, hogy az alábbi
%lineáris egyenletrendszernek egy\-ér\-tel\-mű megoldása
%legyen.\vspace{-0.6cm}
%\begin{center}
% \begin{tabular}{rcl}
%  $sx+tz$ & $=$ & $2$ \\
%  $sx+sy+4z$ & $=$ & $4$ \\
%  $sy+2z$ & $=$ & $t$
% \end{tabular}
%\end{center}

%\item Legyen $A$ egy $6\times 5$-ös mátrix. Melyek igazak az
%alábbi állítások közül?
%\begin{enumerate}
%\item Ha az első 3 sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső $3\times
%3$-as aldetermináns 0.
%\item Ha a bal felső $3\times3$-as aldetermináns 0, akkor az első 3 sor
%lineárisan összefüggő.
%\item Ha az első 3 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 3 oszlop is
%lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
%\item  Ha az első 2 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 2 oszlop is
%lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
%\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
