Bevezetés a számításelméletbe I.

5. gyakorlat, 2006. október 11.

                                      Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Vektorok szorzása – Mátrixok

50. Legyen a = (1, 2, 3), b = (2, −1, 3) és c = (−1, 2, −3). Számoljuk ki az ab, bc és ca skaláris szorzatokat, az a × b, b × c, c × a és a × c vektoriális szorzatokat, valamint az abc vegyesszorzatot.

51. Igazoljuk, hogy ha egy tetraéder két szemköztes élpárja merőleges egymásra, akkor a harmadik is.

52. Számoljuk ki az (1, 1, 1), (2, 1, 4), (1, 4, 1) és (3, 1, 3) csúcsok által kifeszített tetraéder térfogatát.

53. Két kitérő egyenesen mozog egy-egy adott hosszúságú szakasz. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott tetraéder térfogata nem változik eközben.

54. Végezzünk el sok-sok mátrixszorzást gyakorlásképp!

55. Legyen A egy n × n-es mátrix, x, y pedig n magas oszlopvektorok. Bizonyítsuk be, hogy ha x ≠ y, de Ax = Ay, akkor |A| = 0.

56. Igaz-e, hogy ha A, B és C n × n-es mátrixok, A ≠ 0, valamint AB = AC, akkor B = C?

57. Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az X^{2} = −I egyenlet?

58. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak tetszőleges A négyzetes mátrixra. (a) Ha van olyan k ⩾ 1 egész szám, amelyre A^{k} = 0, akkor |A| = 0.

(b) Ha |A| = 0, akkor van olyan k ⩾ 1 egész szám, amelyre A^{k} = 0.

59. Mutassuk meg, hogy tetszőleges szigorú felső háromszögmátrixnak valamelyik pozitív egész kitevős hatványa nullmátrix.

60. Adjuk meg az összes olyan B mátrixot, amire az

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ -1 & 0 \end{matrix} )

mátrix esetén AB = BA teljesül.

61. Számoljuk ki az alábbi mátrix 2007. hatványát:

( \begin{matrix}5 & 7 \\ -3 & -5 \end{matrix} )

62. A 100 × 100-as A mátrix főátlójában és a 100. sorában mindenhol 1-es áll, az összes többi eleme 0. Határozzuk meg az A^{100} mátrixot.

63. Tetszőleges valós t és pozitív egész k számra számoljuk ki az alábbi mátrixot:

( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 2 \end{matrix} )^{k}

64. Bizonyítsuk be, hogy ha a kvadratikus A mátrixra és a vele azonos rendű E egység- és 0 zérusmátrixra A^{2} + A + E = 0, akkor A determinánsa nem 0. Számítsuk ki A^{2007}-t.

65. Mutassuk meg, hogy ha A kvadratikus és E ugyanolyan rendű egységmátrix, továbbá valamely k egészre A^{k} zérusmátrix, akkor E − A invertálható.