\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2cm}
\addtolength\textwidth{3.8cm}
\addtolength\hoffset{0cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
4. gyakorlat, 2006. október 4.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{11mm}
\textbf{\LARGE Determinánsok}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{36}

\item Határozzuk meg a következő permutációkban az inverziók számát!
\\(a) $5,2,4,1,6,3 \qquad$ (b) $100,99,98, \dots,1 \qquad$ (c) $2,3,\dots,100,1$

\item Mi a kapcsolat egy permutációnak és a „fordítottjának” az inverziószáma
között?

\item Mely $n$-ekre létezik olyan permutációja az $1, 2, \dots, n$
számoknak, melyben az inverzióban álló elempárok száma megegyezik az
inverzióban nem álló elempárok számával?

\item Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát.

\hspace{1cm}
  \begin{tabular}{lllllllll}
    \begin{tabular}{|rr|}
      12 & 13 \\
      14 & 15
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrr|}
      $\sin{x}$ & \hspace{3mm} & $-\cos{x}$ \\
      $\cos{x}$ & \hspace{3mm} & $\sin{x}$
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrr|}
      1 & 2 & 3 \\
      2 & 3 & 1 \\
      3 & 1 & 2
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrr|}
      1 & 7 & -2 \\
      3 & -4 & 1 \\
      11 & 2 & -1
    \end{tabular}
  \end{tabular}
\\ ~ \\
\hspace*{1cm}
  \begin{tabular}{llllllll}
    \begin{tabular}{|rrr|}
      1 & 3 & 2 \\
      2 & 3 & 4 \\
      0 & 1 & 5 \\
      1 & 4 & 6
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrrr|}
      1 & 2 & 3 & 4 \\
      0 & 0 & 0 & 0 \\
      3 & 6 & 9 & 2 \\
      8 & 6 & 4 & 2
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrrrr|}
      0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
      0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
      0 & 0 & 0 & 3 & 7 \\
      9 & 5 & 6 & 8 & 2 \\
      3 & 6 & 5 & 8 & 8
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrrr|}
      1 & a & b & c+d \\
      1 & b & c & d+a \\
      1 & c & d & a+b \\
      1 & d & a & b+c
    \end{tabular}
  \end{tabular}

\item Hogyan változik egy mátrix determinánsa a főátlóra tükrözéskor? És ha
a mellékátlóra tükrözünk?

\item Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát. A mátrixok
$n\times n$-esek, a nem jelzett elemek értéke pedig $0$.
\vspace*{2mm} \\
\begin{tabular}{lll}
 \begin{tabular}{rl}
  \vspace{1mm} (a) & $a_{i,i}=1$ \\
  \vspace{1mm} (b) & $a_{i,i}=A$ \\
  \vspace{1mm} (c) & $a_{i,n+1-i}=1$ \\
  \vspace{1mm} (d) & $a_{i,i}=a_{i,i+1}=a_{n,1}=1, \quad n=2k$ \\
  \vspace{1mm} (e) & $a_{i,j}=i+j-1$
 \end{tabular} &
 ~~~~~~~~~~~~ &
 \begin{tabular}{rl}
  \vspace{1mm} (f) & $a_{i,j}=(i+j-1)^2$ \\
  \vspace{1mm} (g) & $a_{i,j}=\min (i,j)$ \\
  \vspace{1mm} (h) & $a_{i,j}={i+j-2 \choose i-1}$ \\
  \vspace{1mm} (i) & $a_{i,j: i+j\leqslant n+1}=a_{n,n}=1$ \\
  \vspace{1mm} (j) & $a_{i,i-1}=a_{i,i+1}=1, a_{i,i}=2$
 \end{tabular}
\end{tabular}

\item Igaz-e, hogy ha egy mátrix minden sorában az elemek számtani
sorozatot alkotnak, akkor a mátrix determinánsa $0$?

\item Az $n\times n$-es $A$ mátrix minden eleme páros szám. Tudjuk, hogy $A$
determinánsa osztható 64-gyel, de nem osztható 128-cal. Adjuk meg $n$ összes
lehetséges értékét.

\item Egy $n\times n$-es mátrix minden eleme $\pm{1}$.
Igazoljuk, hogy determinánsa osztható $2^{n-1}$-nel.

%\item Megválasztható-e $c$ értéke úgy, hogy az alábbi mátrix
%determinánsa ne nulla legyen?
%\[\left(
%\begin{array}{ccccccc}
%~ & c & ~ & c+1 & ~ & c+2 & ~
%\\ ~ & c+3 & ~ & c+4 & ~ & c+5 & ~
%\\ ~ & c+6 & ~ & c+7 & ~ & c+8 & ~
%\end{array}
%\right)\]

\item Van egy $n\times n$-es mátrixunk, melynek az elemei egy kivételével
rögzítettek. Igaz-e, hogy az utolsó elem mindig megválasztható úgy, hogy az
így kitöltött mátrix determinánsa $0$ legyen?

\item A pontos érték meghatározása nélkül mutassuk meg, hogy az alábbi
determináns értéke nem zérus.
\begin{center}
\begin{tabular}{|rrrr|}
1222 & 1492 & 1956 & 1789 \\
1456 & 1000 & 1867 & 1686 \\
1848 & 1945 & 1552 & 1640 \\
1769 & 1514 & 1918 & 1812
\end{tabular}
\end{center}

\item Legyen ${\bf A}$ egy $n$ sorból és $n$ oszlopból álló
mátrix, a $k$-adik sorának $j$-edik elemét jelölje $a_{kj}$.
Legyen ${\bf B}$ az az $n\times n$-es mátrix, amelyben a $k$-adik
sor $j$-edik eleme $b_{kj}=\frac{k}{j}a_{kj}$ ($1\le k,j \le n$).  
Mennyi ${\bf B}$ determinánsa, ha tudjuk, hogy ${\bf A}$
determinánsa 1?

\item Egy $n\times n$-es mátrix minden eleme egyjegyű ($0$–$9$), így sorai
$n$ jegyű nemnegatív egész számokként is olvashatók. Mi több, az így kapott
számok mindegyike osztható $2006$-tal. Igaz-e, hogy a determinánsa is
osztható $2006$-tal?
  
\end{enumerate}

\end{document}
