Bevezetés a számításelméletbe I.

4. gyakorlat, 2006. október 4.

                                   Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Determinánsok

37. Határozzuk meg a következő permutációkban az inverziók számát!

(a) 5, 2, 4, 1, 6, 3  (b) 100, 99, 98, …, 1  (c) 2, 3, …, 100, 1

38. Mi a kapcsolat egy permutációnak és a „fordítottjának” az inverziószáma között?

39. Mely n-ekre létezik olyan permutációja az 1, 2, …, n számoknak, melyben az inverzióban álló elempárok száma megegyezik az inverzióban nem álló elempárok számával?

40. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát.

12 13 14 15 sin x − cos x

cos x  sin x

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 7 -2 3 -4 1 11 2 -1

1 3 2 2 3 4 0 1 5 1 4 6 1 2 3 4 0 0 0 0 3 6 9 2 8 6 4 2 0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 0 3 7 9 5 6 8 2 3 6 5 8 8

1 a b c+d
1 b c d+a
1 c d a+b
1 d a b+c

41. Hogyan változik egy mátrix determinánsa a főátlóra tükrözéskor? És ha a mellékátlóra tükrözünk?

42. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát. A mátrixok n×n-esek, a nem jelzett elemek értéke pedig 0.

\begin{matrix}(a) & a_{i,i} = 1 \\ (b) & a_{i,i} = A \\ (c) & a_{i,n+1−i} = 1 \\ (d) & a_{i,i} = a_{i,i+1} = a_{n,1} = 1, n = 2k \\ (e) & a_{i,j} = i + j − 1 \end{matrix} (f) a_{i,j} = (i + j − 1)^{2}

(g) a_{i,j} = min(i, j)
(h) a_{i,j} = \binom{i+j−2}{i−1}
(i) a_{i,j:i+j⩽n+1} = a_{n,n} = 1
(j) a_{i,i−1} = a_{i,i+1} = 1, a_{i,i} = 2

43. Igaz-e, hogy ha egy mátrix minden sorában az elemek számtani sorozatot alkotnak, akkor a mátrix determinánsa 0?

44. Az n × n-es A mátrix minden eleme páros szám. Tudjuk, hogy A determinánsa osztható 64-gyel, de nem osztható 128-cal. Adjuk meg n összes lehetséges értékét.

45. Egy n × n-es mátrix minden eleme ±1. Igazoljuk, hogy determinánsa osztható 2^{n−1}-nel.

46. Van egy n × n-es mátrixunk, melynek az elemei egy kivételével rögzítettek. Igaz-e, hogy az utolsó elem mindig megválasztható úgy, hogy az így kitöltött mátrix determinánsa 0 legyen?

47. A pontos érték meghatározása nélkül mutassuk meg, hogy az alábbi determináns értéke nem zérus.

1222 1492 1956 1789
1456 1000 1867 1686
1848 1945 1552 1640
1769 1514 1918 1812

48. Legyen A egy n sorból és n oszlopból álló mátrix, a k-adik sorának j-edik elemét jelölje a_{kj}. Legyen B az az n × n-es mátrix, amelyben a k-adik sor j-edik eleme b_{kj} = \frac{k}{j} a_{kj} (1 ≤ k, j ≤ n). Mennyi B determinánsa, ha tudjuk, hogy A determinánsa 1?

49. Egy n × n-es mátrix minden eleme egyjegyű (0–9), így sorai n jegyű nemnegatív egész számokként is olvashatók. Mi több, az így kapott számok mindegyike osztható 2006-tal. Igaz-e, hogy a determinánsa is osztható 2006-tal?