\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2.5cm}
\addtolength\textwidth{6.2cm}
\addtolength\hoffset{-1.3cm}
\addtolength\textheight{6.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
1. gyakorlat, 2006. szeptember 13.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{10mm}

\textbf{\LARGE Koordinátageometria, vektorterek}
\end{center}

\vspace*{6mm}

\begin{enumerate}

\item Milyen hosszúságú a ($3,4,12)$ vektor?

\item A $z$ mely értékei mellett merőleges az $(5,-3,2)$ és a $(7,4,z)$
vektor egymásra?

\item Írjuk fel a $(3,4,5)$ ponton átmenő, a $3x+y-3z=8$ egyenletű síkkal
párhuzamos sík egyenletét.

\item A $c$ valós paraméter milyen értékeire lesz merőleges a $3x+cy+4z=7$
és a $12x-cy+16z=5$ egyenletű sík? Milyen $c$ esetén fogják egymást metszeni?

\item Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy az origón és
merőleges a $(2,3,4)$ vektorra! Írjuk fel az ezzel párhuzamos, $(1,1,1)$
pontot tartalmazó síkét is.

\item Egy sík a koordinátatengelyeket a $(2,0,0)$, $(0,-1,0)$, $(0,0,5)$
pontokban metszi. Írjuk fel az egyenletét.

\item Határozzuk meg az $x+y+z=5$ egyenletű sík és a $2x-y-2z=3$ egyenletű
sík metszésvonalának azt a pontját, amelyik az $x$ és az $y$ tengely által
meghatározott síkba esik.

\item Írjuk fel a $(12,-1,9)$ ponton átmenő és az $x=3+7t$, \, $y=-8+5t$, \,
$z=-t$ egyenletű egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét. Állítsuk elő az
egyenest két sík metszeteként is!

\item Határozzuk meg a háromdimenziós térben az $(1,1,1)$ és $(2,2,4)$
pontokon átmenő egyenes és a $2x+3y-z=2$ egyenletű sík metszetét.

\item Határozzuk meg a $3x+4y+12z+25=0$ sík és a $(2,3,4)$ pont távolságát.

\item Határozzuk meg az $Ax+By+Cz+D=0$ sík és az $(x_0,y_0,z_0)$ pont
távolságát. ($A$, $B$, $C$, $D$, $x_0$, $y_0$ és $z_0$ valós paraméterek.)

\item Legyen $a=(7,-5,1)$ és $b=(8,13,6)$. Bontsuk fel $b$-t egy $a$-val
párhuzamos és egy $a$-ra merőleges összetevőre.

\item Vektorteret alkotnak-e az alábbi halmazok (a valós számok, mint
skalárhalmaz felett)?
\begin{enumerate}
\item Az összes térvektor,
\item a sík összes, $x$ vagy $y$ tengellyel párhuzamos vektora,
\item az összes $ax+by=c$ alakú egyenlet,
\item az összes $n$-edfokú egyváltozós polinom,
\item az összes legfeljebb $n$-edfokú egyváltozós polinom,
\item az összes egyváltozós polinom,
\item a folytonos függvények,
\item $\{f:f(5)\geq 0\}$,
\item $\{f:f(5)=f(8)\}$.
\end{enumerate}

\item A valós számhármasok terében vektorteret alkotnak-e azok az
$(x_1,x_2,x_3)$ vektorok, melyekre
\begin{enumerate}
\item $x_1=2x_2-3x_3$
\item $x_1=2x_2-3x_3+2$
\end{enumerate}

\item $V_1$ és $V_2$ a $V$ vektortér alterei, milyen feltételek mellett lesz
\begin{enumerate}
\item $V_1 \cap V_2$ altér,
\item $V_1 \cup V_2$ altér?
\end{enumerate}

%\item Igaz-e, hogy minden véges dimenziós vektortérnek véges sok altere van?

\item Az $u$, $v$ és $w$ vektorok elemei, $W$ pedig altere egy vektortérnek,
továbbá tudjuk, hogy $u+v\in W$, $3u+w\in W$, de $v+2w\notin W$. Mutassuk
meg, hogy $6u+3v+w\in W$, de $5u+3v+w\notin W$.

\end{enumerate}

\vspace*{8mm}

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék honlapja:\\
\hspace*{1cm}\texttt{http://www.cs.bme.hu/}

Feladatsoraim:\\
\hspace*{1cm}\texttt{http://www.cs.bme.hu/\~{}egmont/bsz/}

BSz Fan Club:\\
\hspace*{1cm}\texttt{http://www.cs.bme.hu/\~{}zoli/bszfc/}

\end{document}
