Bevezetés a számításelméletbe I.

1. gyakorlat, 2006. szeptember 13.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Koordinátageometria, vektorterek

1. Milyen hosszúságú a (3, 4, 12) vektor?

2. A z mely értékei mellett merőleges az (5, −3, 2) és a (7, 4, z) vektor egymásra?

3. Írjuk fel a (3, 4, 5) ponton átmenő, a 3x + y − 3z = 8 egyenletű síkkal párhuzamos sík egyenletét.

4. A c valós paraméter milyen értékeire lesz merőleges a 3x + cy + 4z = 7 és a 12x − cy + 16z = 5 egyenletű sík? Milyen c esetén fogják egymást metszeni?

5. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy az origón és merőleges a (2, 3, 4) vektorra! Írjuk fel az ezzel párhuzamos, (1, 1, 1) pontot tartalmazó síkét is.

6. Egy sík a koordinátatengelyeket a (2, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, 5) pontokban metszi. Írjuk fel az egyenletét.

7. Határozzuk meg az x + y + z = 5 egyenletű sík és a 2x − y − 2z = 3 egyenletű sík metszésvonalának azt a pontját, amelyik az x és az y tengely által meghatározott síkba esik.

8. Írjuk fel a (12, −1, 9) ponton átmenő és az x = 3 + 7t, y = −8 + 5t, z = −t egyenletű egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét. Állítsuk elő az egyenest két sík metszeteként is!

9. Határozzuk meg a háromdimenziós térben az (1, 1, 1) és (2, 2, 4) pontokon átmenő egyenes és a 2x + 3y − z = 2 egyenletű sík metszetét.

10. Határozzuk meg a 3x + 4y + 12z + 25 = 0 sík és a (2, 3, 4) pont távolságát.

11. Határozzuk meg az Ax + By + Cz + D = 0 sík és az (x_{0}, y_{0}, z_{0}) pont távolságát. (A, B, C, D, x_{0}, y_{0} és z_{0} valós paraméterek.)

12. Legyen a = (7, −5, 1) és b = (8, 13, 6). Bontsuk fel b-t egy a-val párhuzamos és egy a-ra merőleges összetevőre.

13. Vektorteret alkotnak-e az alábbi halmazok (a valós számok, mint skalárhalmaz felett)?

(a) Az összes térvektor,

(b) a sík összes, x vagy y tengellyel párhuzamos vektora,

(c) az összes ax + by = c alakú egyenlet,

(d) az összes n-edfokú egyváltozós polinom,

(e) az összes legfeljebb n-edfokú egyváltozós polinom,

(f) az összes egyváltozós polinom,

(g) a folytonos függvények,

(h) {f : f(5) ≥ 0},

(i) {f : f(5) = f(8)}.

14. A valós számhármasok terében vektorteret alkotnak-e azok az (x_{1}, x_{2}, x_{3}) vektorok, melyekre (a) x_{1} = 2x_{2} − 3x_{3}

(b) x_{1} = 2x_{2} − 3x_{3} + 2

15. V_{1} és V_{2} a V vektortér alterei, milyen feltételek mellett lesz (a) V_{1} ∩ V_{2} altér,

(b) V_{1} ∪ V_{2} altér?

16. Az u, v és w vektorok elemei, W pedig altere egy vektortérnek, továbbá tudjuk, hogy u + v ∈ W, 3u + w ∈ W, de v + 2w ∉ W. Mutassuk meg, hogy 6u + 3v + w ∈ W, de 5u + 3v + w ∉ W.

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék honlapja:

   http://www.cs.bme.hu/

Feladatsoraim:

   http://www.cs.bme.hu/˜ egmont/bsz/

BSz Fan Club:

   http://www.cs.bme.hu/˜ zoli/bszfc/