\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-1.5cm}
\addtolength\textwidth{5.6cm}
\addtolength\hoffset{-0.9cm}
\addtolength\textheight{5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe II.}
\\\vspace*{1mm}
12. gyakorlat, 2006. május 10.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{12mm}
\textbf{\LARGE Gyűrűk}
\end{center}

\vspace*{9mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{113}

\item Az alábbi halmazok közül melyek alkotnak gyűrűt (a szokásos
szorzásra és összeadásra nézve):

\begin{enumerate}
\item $\{ a+b \sqrt{2}:a,b \in \mathbb{Q} \}$;
\item $\{ a+b \sqrt[3]{2}:a,b \in \mathbb{Q} \}$;
\item $\{ \frac{a}{3^n}+b :a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$;
\item $\{ a+b i:a,b \in \mathbb{Z}, ab=0 \}$;
%\item $\{ a_n x^n+\dots +a_2 x^2:a_n,\dots,a_2 \in \mathbb{R}\}$;
%\item $\{ a_n x^n+\dots +a_2+a_0 x^2:a_n,\dots,a_2,a_0 \in \mathbb{R}\}$;
\item $\{ a+b i:a,b \in \mathbb{Z}, b \text{ páros} \}$;
\item $\{ a+b i:a,b \in \mathbb{Z}, a \text{ páros} \}$;
\item az egész együtthatós polinomok;
\item $\{ 0,1 \}$ a modulo 2 összeadással és szorzással;
\item a $4 \times 4$-es mátrixok;
\item a $4 \times 4$-es mátrixok, melyek determinánsa nem nulla, valamint a
$4 \times 4$-es nulla mátrix.
\end{enumerate}

A fenti gyűrűk közül melyik egységelemes, melyik kommutatív, mely
elemeknek van multiplikatív inverze?

\item Állapítsuk meg, hogy az alábbi struktúrák közül melyik
gyűrű. Ha gyűrű, akkor döntsük el, hogy kommutatív, egységelemes
illetve nullosztómentes-e. (Ha kommutatív és nullosztómentes,
akkor integritási tartománynak hívjuk.) Továbbá ha egységelemes és
nullosztómentes is, akkor nézzük meg, hogy ferdetestről, esetleg
testről van-e szó.
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ a szokásos összeadással és szorzással;
\item A páros számok (általában az $m$-mel osztható egész számok) a szokásos összeadással és szorzással;
\item Az $n\times n$-es mátrixok $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ felett a szokásos mátrixösszeadással és mátrixszorzással;
\item A polinomok $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ felett a szokásos polinomösszeadással és polinomszorzással;
\item Egy $H$ halmaz részhalmazai, az unió és a metszet műveletekkel;
\item Egy $H$ halmaz részhalmazai, a szimmetrikus differencia és a metszet műveletekkel;
\item Az adott intervallumon értelmezett folytonos függvények, a képeken végrehajtott összeadással és szorzással;
\item Az $n$-nel vett osztási maradékok, a szokásos összeadással és szorzással;
%\item A kvaterniók alkotta struktúra;
\item A valós számpárok, az elemenkénti összeadással és szorzással.
%\item A $p+q\sqrt{2}$ alakban felírható számok, ahol $p$ és $q$ racionális, a szokásos összeadással és szorzással.
\end{enumerate}

\item Egy $x \ne 0$ gyűrűelem baloldali nullosztó, ha $\exists y\ne 0$, hogy
$xy=0$. Legyen $x_1$ és $x_2$ baloldali nullosztó. Bizonyítsuk be, hogy
$x_1x_2$ is baloldali nullosztó, de $x_1+x_2$ nem feltétlenül az!

\item Adjunk példát az $n \times n$-es mátrixok gyűrűjében nullosztókra!

\item Legyen az $R$ gyűrűben $0$ az additív neutrális elem.
\begin{enumerate}
\item Lássuk be, hogy tetszőleges $a$ elemre $0a = a0 = 0$;
\item Azt is lássuk be, hogy tetszőleges $a, b$ elemekre $(-a)b = -ab$!
\end{enumerate}

\item $A$ az $R$ gyűrű azon elemeiből áll, amelyekre $a*r = r*a$, minden $r \in R$ esetén.
Bizonyítsuk be, hogy $A$ részgyűrűje $R$-nek!

\item Legyen $R$ egy egységelemes integritási tartomány, és $r$ egy eleme, amelyre $r*r = r$.
Lássuk be, hogy ekkor $r = 0$ vagy $r = 1$!

%\item Készítsd el a $4$, $8$ és $9$ elemű test műveletttáblázatait!

%\item Egy $T$ test karakterisztikája $p$, ha tetszőleges $a \in T$-re $\underbrace{a+a+\cdots +a}=0$.
%Bizonyítsd be, hogy egy $p$-karakterisztikájú testben tetszőleges $a,b \in T$-re igaz: $(a+b)^p=a^p+b^p$!

\end{enumerate}

\end{document}
