\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-15mm}
\addtolength\textwidth{5.6cm}
\addtolength\hoffset{-0.9cm}
\addtolength\textheight{5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe II.}
\\\vspace*{1mm}
10. gyakorlat, 2006. április 26.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{12mm}
\textbf{\LARGE Csoportok II.}
\end{center}

\vspace*{9mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{103}

\item Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számhoz található $n$ elemű csoport,
    és hogy végtelen sok $n$-re teljesül, hogy az $n$ elemű csoportok izomorfak.

\item A $G$ csoport $a$, $b$ és $c$ elemei különböznek az $e$ egységtől és
     $a^3=b^5=c^7=e$. Lássuk be, hogy $G$-nek legalább 100 eleme van.

%\item Legyen $G$ egy csoport, és $H \leq G$, valmint $g \in G$. Bizonyítsuk be,
%    hogy $g^{-1}Hg$ is részcsoport! (Ezt $H^g$-nel jelöljük.)

%\item Legyen $G$ egy csoport. Bizonyítsuk be, hogy $G$-nek a mindennel
%  felcserélhetô elemei rész\-cso\-por\-tot alkotnak ($g \in G$ mindennel
%  felcserélhető, ha $\forall h \in G$-re $gh = hg$)! (Ez $G$
%  centruma, $Z(G)$.)

%\item Legyen $G$ kommutatív csoport, és $k \in \mathbb{Z^+}$.
%    $U:=\{u \in G : \exists g \in G, g^k =u \}$. Mutassuk meg, hogy $U \leq G$!

\item Hány részcsoportja van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

\item Bizonyítsuk be, hogy minden $k$ pozitív egész szám esetén létezik
  olyan csoport, amelynek pontosan $k$ darab részcsoportja van!

\item Egy csoport rendje 81 és van olyan eleme, melynek 27. hatványa nem az egységelem.
     Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív.

\item Tekintsünk egy páratlan rendű Abel-csoportot, melyben a műveletet összeadásnak nevezzük.
     Bizonyítsuk be, hogy az összes elem összege $0$.

\item Írjuk fel az $ \left(
  \begin{array}{rrrrrrrr}
   1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
   3 & 7 & 4 & 1 & 6 & 5 & 2 & 8
  \end{array}
  \right)
  $ permutáció ciklusfelbontását! Számoljuk ki a második, harmadik ill.
  negyedik hatványát a ciklusfelbontás alapján! Mi az a legkisebb $n$, amelyre
  ezen permutáció $n$-edik hatványa az identitás?

\item Igazold, hogy a következő halmazok $S_n$-nek generátorrrendszerei:
%\begin{enumerate}
%\item

(a) $\; \{(1\; 2),(1\; 3),\dots,(1\; n) \}$; $\qquad$
%\item
(b)$ \; \{(1\; 2),(2\; 3),\dots,(n-1\; n) \}$; $\qquad$
%\item
(c)$ \; \{(1\; 2),(1\; 2\; 3\; \dots n)\}$.
%\end{enumerate}
\item Bizonyítsd be, hogy a páros permutációk egy részcsoportot alkotnak $S_n$-ben!

%\item Bizonyítsd be, hogy a szabályos tetraéder szimmetriacsoportja izomorf
%$S_4$-gyel!

\item Határozzuk meg az $S_3$ csoport összes részcsoportját. Adjuk meg
mindegyikhez a bal és jobb oldali mellékosztályokat.

\end{enumerate}

\end{document}
