Bevezetés a számításelméletbe II.

10. gyakorlat, 2006. április 26.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Csoportok II.

104. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számhoz található n elemű csoport, és hogy végtelen sok n-re teljesül, hogy az n elemű csoportok izomorfak.

105. A G csoport a, b és c elemei különböznek az e egységtől és a^{3} = b^{5} = c^{7} = e. Lássuk be, hogy G-nek legalább 100 eleme van.

106. Hány részcsoportja van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

107. Bizonyítsuk be, hogy minden k pozitív egész szám esetén létezik olyan csoport, amelynek pontosan k darab részcsoportja van!

108. Egy csoport rendje 81 és van olyan eleme, melynek 27. hatványa nem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív.

109. Tekintsünk egy páratlan rendű Abel-csoportot, melyben a műveletet összeadásnak nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy az összes elem összege 0.

110. Írjuk fel az ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 6 & 5 & 2 & 8 \end{matrix} ) permutáció ciklusfelbontását! Számoljuk ki a második, harmadik ill. negyedik hatványát a ciklusfelbontás alapján! Mi az a legkisebb n, amelyre ezen permutáció n-edik hatványa az identitás?

111. Igazold, hogy a következő halmazok S_{n}-nek generátorrrendszerei:

(a) {(1 2), (1 3), …, (1 n)}; (b) {(1 2), (2 3), …, (n − 1 n)}; (c) {(1 2), (1 2 3 … n)}.

112. Bizonyítsd be, hogy a páros permutációk egy részcsoportot alkotnak S_{n}-ben!

113. Határozzuk meg az S_{3} csoport összes részcsoportját. Adjuk meg mindegyikhez a bal és jobb oldali mellékosztályokat.