\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{-1.1cm}
\setlength\evensidemargin{-1.1cm}
\setlength\topmargin{-1cm}
\addtolength\textwidth{6cm}
\addtolength\hoffset{0cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\newcommand{\ve}{\underline}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
8. gyakorlat, 2005. november 5.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace{14mm}
\textbf{\LARGE Sajátdolgok}
\end{center}

\vspace*{13mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{82}

\item Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.
\vspace{-0.3cm}
\begin{center}
 $\left(
 \begin{array}{ccc}
  0 & 0 & -2 \\
  3 & -2 & -3 \\
  6 & -6 & 1
 \end{array}
 \right)$
\end{center}

\item Adjuk meg az összes olyan $p$-t, amelyre az alábbi mátrixnak két
különböző valós sajátértéke van. Számítsuk is ki a sajátértékeket $p=6$
esetén.
\begin{center}
 $\left(
 \begin{array}{cc}
  2 & -1 \\
  p & -3
 \end{array}
 \right)$
\end{center}

\item Tekintsük a legfeljebb hatodfokú $p(x)$ polinomok vektorterét. 
Határozzuk meg az ebben a vektortérben értelmezett következő lineáris
transzformációk sajátdolgait. 

\begin{enumerate}

\item $f(x) \rightarrow 0$
\item $f(x) \rightarrow f'(x)$
\item $f(x) \rightarrow x f'(x)$

\end{enumerate}

\item Keressünk olyan $2\times 2$-es, illetve $3\times 3$-as valós mátrixot,
melynek nincsen valós sajátértéke.

\item A négyzetes $A$ mátrixra $A=A^3$. Bizonyítsuk be, hogy $A$-nak van
sajátvektora, és sajátértékei csak a $-1$, $0$, $1$ lehetnek.
% Ha A nem invertálható, akkor a 0 sajátérték.
% Ha A invertálható, akkor A^2=E, tehát (A+E)(A-E)=0, így A+E és A-E
% legalább egyike nulla determinánsú. Ha az előbbi, akkor a -1, ha az
% utóbbi, akkor az 1 sajátérték.

\item Tekintsük azt a lineáris transzformációt, amely a négydimenziós tér
bázisvektorait ciklikusan egymásba viszi át. Mik ennek a transzformációnak
a sajátdolgai?

\item Számítsuk ki $A^k$ sajátértékeit és sajátvektorait minden
$1 \leq k \leq n-1$ esetére, ha $A$-ra teljesül, hogy
$A\cdot\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)$. \\

\end{enumerate}
\end{document}
