\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-1cm}
\addtolength\textwidth{5.8cm}
\addtolength\hoffset{-1.0cm}
\addtolength\textheight{6cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
3. gyakorlat, 2005. szeptember 26.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{13mm}
\textbf{\LARGE Lineáris egyenletrendszerek}
\end{center}

\vspace*{18mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{24}

%\item Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a
%következő lineáris egyenletrendszereket. \\ ~ \\
%\begin{tabular}{lllll}
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (a) & $a+3b+c+4d$ & $=$ & $-5$ \\
%  & $2a+3b-6c$ & $=$ & $4$ \\
%  & $-a+b+2c-d$ & $=$ & $-6$ \\
%  & $3a+10b+c+d$ & $=$ & $0$
% \end{tabular} & \hspace{0.8cm} &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (b) & $x+2y-z-u+v$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $x+2y-z+v$ & $=$ & $1$ \\
%  & $-x-y+z+3u-2v$ & $=$ & $2$ \\
%  & $2x+2y-2z-5u+4v$ & $=$ & $-2$ \\
%  & $3x+7y-3z+u+2v$ & $=$ & $2$
% \end{tabular} & \hspace{0.8cm} &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (c) & $1$ $1$ $2$ $-1$ $3$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $1$ $2$ $1$ $3$ $-2$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $3$ $3$ $-1$ $2$ $1$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $-1$ $1$ $2$ $3$ $-2$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $2$ $-1$ $3$ $-2$ $1$ & $\,$ & $0$
% \end{tabular} \\ ~ \\
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (d) & $x+9y+2z-5u-3v$ & $=$ & $9$ \\
%  & $2y+3u$ & $=$ & $5$ \\
%  & $-2x-4z+u+6v$ & $=$ & $3$ \\
%  & $3x+5y+6z+6u-9v$ & $=$ & $8$ \\
%  & $8y-6u$ & $=$ & $8$
% \end{tabular} & &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (e) & $a+2b-3c+d+e$ & $=$ & $1$ \\
%  & $a-b+c-3d-2e$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $2a+3b-2c+d+4e$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $a-2b+2c-d$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $-3a+b+c+2d+e$ & $=$ & $1$
% \end{tabular} & &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (f) & $1$ $2$ $-3$ $3$ $1$ & $\,$ & $42$ \\
%  & $2$ $1$ $2$ $1$ $2$ & $\,$ & $-42$ \\
%  & $-1$ $3$ $1$ $2$ $1$ & $\,$ & $-42$ \\
%  & $3$ $0$ $1$ $-1$ $3$ & $\,$ & $84$ \\
%  & $1$ $2$ $-1$ $1$ $-2$ & $\,$ & $-84$
% \end{tabular}
%\end{tabular}

\item Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a
következő lineáris egyenletrendszereket. \\ ~ \\
\begin{tabular}{l@{\quad}l@{\quad\quad\quad\quad}l@{\quad}l@{\quad\quad\quad\quad}l@{\quad}l}
(a)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
2x+4y+6z&=&8\\
x+2y+5z&=&1\\
x+4y+7z&=&2\\
4x-5y+2z&=&5
\end{array}$
&
(b)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
3x+7y+11z&=&19\\
2x+4y+8z&=&14\\
x+2y+3z&=&4
\end{array}$
&
(c)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
3x+4y+7z&=&5\\
15x+23y+37z&=&31\\
-3x+5y+4z&=&13
\end{array}$
\end{tabular}
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{l@{\quad}l@{\quad\quad\quad\quad}l@{\quad}l@{\quad\quad\quad\quad}l@{\quad}l}
(d)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
x+3y+2z&=&2\\
2x+5y+4z&=&3\\
3x+7y+6z&=&4
\end{array}$
&
(e)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
x+3y+2z&=&2\\
2x+5y+4z&=&3\\
3x+7y+6z&=&5
\end{array}$
\end{tabular}

%\item Határozzuk meg az $a$ és $b$ paraméterek függvényében az
%alábbi egyenletrendszer megoldásainak számát.
%\begin{center}
% \begin{tabular}{rcl}
%  $3x_1-5x_2+16x_3$ & $=$ & $37$ \\
%  $x_1+4x_2-ax_3$ & $=$ & $10$ \\
%  $-14x_1+bx_2+9x_3$ & $=$ & $8$
% \end{tabular}
%\end{center}

\item Határozzuk meg az $a$ és $b$ paraméterek függvényében az
alábbi egyenletrendszer megoldásainak számát.
\begin{center}
 \begin{tabular}{rcl}
  $x_1+2x_2+3x_3$ & $=$ & $4$ \\
  $2x_1+6x_2+7x_3$ & $=$ & $9$ \\
  $3x_1+6x_2+ax_3$ & $=$ & $b$
 \end{tabular}
\end{center}

\item Adjunk példát olyan 3 ismeretlenes és 5 egyenletből álló
egyenletrendszerre, melynek
\begin{enumerate}
\item nincs megoldása;
\item egyértelmű megoldása van;
\item végtelen sok megoldása van.
\end{enumerate}
Oldjuk meg a feladatot 5 ismertetlenes  és 3 egyenletből álló
egyenletrendszerekkel is!

\item Oldjuk meg a következő egyenletet:
\[ \frac{x-1978}{27}+\frac{x-1980}{25}+\frac{x-1982}{23}+\frac{x-1984}{21}=
\frac{x-27}{1978}+\frac{x-25}{1980}+\frac{x-23}{1982}+\frac{x-21}{1984} \]

\end{enumerate}

\end{document}
