Bevezetés a számításelméletbe I.

2. gyakorlat, 2005. szeptember 19.

                                   Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Komplex számok

11. Legyen x = 1 + 2i és y = 3 + 4i. Számoljuk ki az alábbi értékeket: x + y, x − y, x · y, \frac{x}{y}, y^{2}, \overline{y}, y · \overline{y}.

12. Határozzuk meg \sqrt{5 − 12i} kanonikus alakját!

13. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket:

(a) z^{2} + 3 = 0,

(b) z^{2} = i|z|,

(c) z^{2} = iz,

(d) |z| = 2z + i,

(e) z^{2} − 5 + 12i = 0,

(f) z^{4} − 3z^{2} − 1 = 0,

(g) z + \overline{z} = 2 |z|,

(h) \overline{z} = z^{2004},

(i) z^{2} − 12z + 13 − 4i = 0.

14. Mi |z|, |z_{1} − z_{2}|, iz geometriai jelentése? Milyen számokat kapunk, ha az a + bi komplex számnak megfelelő pontot tükrözzük

(a) a valós tengelyre,

(b) a képzetes tengelyre,

(c) az y = x egyenletű egyenesre?

15. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy z_{1}, z_{2}, z_{3} egy egyenesbe essenek?

16. Varázsoljuk trigonometrikus alakba az alábbi, kanonikus alakjaikkal megadott komplex számokat: 1 + i, 5 − 12i, \sqrt{3} − i, sin α − i cos α.

17. Tekintsük az összes n-edik egységgyököt. Mutassuk meg, hogy ezek szorzata is egységgyök. Mi a feltétele annak, hogy összegük is egységgyök legyen?

18. Van-e a kilencedik egységgyökök között pontosan hat, melyek összege zérus? És pontosan hét?

19. Bizonyítsuk be, hogy a 2004. egységgyökök közül kiválasztható 876, melyek összege 0.

20. Mennyi az n-edik komplex egységgyökök összege, illetve szorzata?

21. Legyen z + z^{−1} = 2 cos α. Mennyi z^{2004} + z^{−2004}?

22. Egy paralelogramma minden élére kifelé illesztünk egy négyzetet. Bizonyítsuk be, hogy ezek középpontja is négyzetet alkot.

23. Egy kör alakú mackósajtos dobozban a 6 darab egyforma körcikk alakú sajtból már csak 3 maradt, úgy, hogy mindhárom sajt csúcsa a doboz középpontjában van, de egyébként tetszőlegesen helyezkednek el. Tekintsük a szomszédos sajtok közötti üres íveket, és mindháromra vegyük az ív végpontjait összekötő egyenes szakasz felezőpontját. Igazoljuk, hogy ez a három pont egy szabályos háromszöget alkot.

24. Hol van a hiba a következő „levezetésben”? 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1)(−1)} = \sqrt{−1}\sqrt{−1} = i · i = −1

Táltos tankör: kedd 10–12, I.B.134 (tanszék)