\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2.5cm}
\addtolength\textwidth{5.6cm}
\addtolength\hoffset{-0.9cm}
\addtolength\textheight{5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\newcounter{bak}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe II.}
\\\vspace*{1mm}
11. gyakorlat, 2005. április 29.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{8mm}
\textbf{\LARGE Csoportok}
\end{center}

\vspace*{9mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{121}

\item Félcsoportot alkotnak-e az alábbi $R$ halmazok a $\circ$
műveletre nézve? Melyik csoport? Melyik Abel-csoport?
\begin{enumerate}

\item $R=$ a síkvektorok halmaza $\bf{v} \circ \bf{w}=\bf{v}+\bf{w}$

\item $R=n \times n$-es nemszinguláris mátrixok, $A \circ B=AB$.
\end{enumerate}

\item Értelmezzük az egész számok halmazán az $a \star b=a+b+1$ képlettel megadott műveletet.
Mutasd meg, hogy $(\mathbb{Z}, \star)$ csoport. Milyen korábbról ismert csoporttal izomorf
$(\mathbb{Z}, \star)$?

%\item Milyen a szimmetriacsoportja?
%
%\begin{tabular}{llllllll}
%(a)&háromszög;&$\qquad$&(c)&téglalap;&$\qquad$&(e)&kocka;\\
%
%(b)&paralelogramma;&$\qquad$&(d)&deltoid;&$\qquad$&(f)&tetraéder.
%\end{tabular}

%\item Az alábbi következtetések közül melyek teljesülnek minden csoportban?
%
%\begin{tabular}{llllllll}
%(a)& $ax=ay \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
%(d)& $xa=ya \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
%(g)& $xa=ay \Rightarrow x=y$; \\
%(b)& $abx=aby \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
%(e)& $axb=ayb \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
%(h)& $bxa=ayb \Rightarrow x=y$; \\
%(c)& $ax=1 \Rightarrow x=a^{-1}$;& $\qquad$&
%(f)& $abx=1 \Rightarrow x=a^{-1}b^{-1}$;& $\qquad$&
%(i)& $abx=1 \Rightarrow x=b^{-1}a^{-1}$. \\
%\end{tabular}

\item Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számhoz található $n$ elemű csoport,
    és hogy végtelen sok $n$-re teljesül, hogy az $n$ elemű csoportok izomorfak.

\item Bizonyítsuk be, hogy ha egy $G$ csoportban minden elem rendje 2, akkor $G$ kommutatív csoport.

\item Lássuk be, hogy ha $a$ és $b$ egy csoport elemei, akkor $a^{-1}ba$
     rendje megegyezik $b$ rendjével.

\item A $G$ csoport $a$, $b$ és $c$ elemei különböznek az $e$ egységtől és
     $a^3=b^5=c^7=e$. Lássuk be, hogy $G$-nek legalább 100 eleme van.

\item Adjuk meg az összes 1, 2, 3, illetve 4 elemű nem izomorf csoport művelettábáját.

%\item Mik a végtelen ciklikus csoport részcsoportjainak, ill. elemeinek rendjei?

%\item Egy $G$ csoportban $a \in G, o(a)=10$.
%    \begin{enumerate}
%    \item Mekkora $b=a^3$ elem rendje?
%    \item Mekkora $b=a^{12}$ elem rendje?
%    \item Mekkora $b=a^k (k \in \mathbb{Z})$ elem rendje?
%    \item Mekkora $b=a^k (k \in \mathbb{Z})$ rendje $o(a)$ segítségével kifejezve?
%    \end{enumerate}

\item Legyen $G$ egy csoport és $a,b \in G$. Ekkor bizonyítsuk be, hogy
    \begin{enumerate}
    \item $o(a) =  o(a^{-1})\,$;
    \item $o(ab) = o(ba)\,$;
    \item $o(a) = o(b^{-1}ab)\,$;
    \item ha $G$ Abel-csoport, akkor $o(ab) \leq o(a) o(b)\,$.
    \end{enumerate}

\item Legyen $G$ egy csoport, és $G_1 \leq G,\, G_2 \leq G$. Ekkor igaz-e, hogy
    \begin{enumerate}
    \item $G_1 \cup G_2 \leq G$;
    \item $G_1 \cap G_2 \leq G$?
    \end{enumerate}

%\item Legyen $G$ egy csoport, és $H \leq G$, valmint $g \in G$. Bizonyítsuk be,
%    hogy $g^{-1}Hg$ is részcsoport! (Ezt $H^g$-nel jelöljük.)

%\item Legyen $G$ egy csoport. Bizonyítsuk be, hogy $G$-nek a mindennel
%  felcserélhetô elemei rész\-cso\-por\-tot alkotnak ($g \in G$ mindennel
%  felcserélhető, ha $\forall h \in G$-re $gh = hg$)! (Ez $G$
%  centruma, $Z(G)$.)

%\item Legyen $G$ kommutatív csoport, és $k \in \mathbb{Z^+}$.
%    $U:=\{u \in G : \exists g \in G, g^k =u \}$. Mutassuk meg, hogy $U \leq G$!

\item Hány részcsoportja van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

\item Van-e olyan $20$ elemű csoport, amelyben \\
\begin{tabular}{llllll}
(a)& van $5$ rendű elem, de nincs $20$ rendű elem; & $\qquad$&
(b)& van $20$ rendű elem, de nincs $5$ rendű elem?
\end{tabular}

\item Bizonyítsuk be, hogy minden $k$ pozitív egész szám esetén létezik
  olyan csoport, amelynek pontosan $k$ darab részcsoportja van!

\item Egy csoport rendje 81 és van olyan eleme, melynek 27. hatványa nem az egységelem.
     Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív.

\item Tekintsünk egy páratlan rendű Abel-csoportot, melyben a műveletet összeadásnak nevezzük.
     Bizonyítsuk be, hogy az összes elem összege $0$.

\item Írjuk fel az $ \left(
  \begin{array}{rrrrrrrr}
   1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
   3 & 7 & 4 & 1 & 6 & 5 & 2 & 8
  \end{array}
  \right)
  $ permutáció ciklusfelbontását! Számoljuk ki a má\-so\-dik, harmadik ill.
  negyedik hatványát a ciklusfelbontás alapján! Mi az a legkisebb $n$, amelyre
  ezen permutáció $n$-edik hatványa az identitás?
\item Igazold, hogy a következő halmazok $S_n$-nek generátorrrendszerei:
%\begin{enumerate}
%\item

(a) $\; \{(1\; 2),(1\; 3),\dots,(1\; n) \}$; $\qquad$
%\item
(b)$ \; \{(1\; 2),(2\; 3),\dots,(n-1\; n) \}$; $\qquad$
%\item
(c)$ \; \{(1\; 2),(1\; 2\; 3\; \dots n)\}$.
%\end{enumerate}
\item Bizonyítsd be, hogy a páros permutációk egy részcsoportot alkotnak $S_n$-ben!

%\item Bizonyítsd be, hogy a szabályos tetraéder szimmetriacsoportja izomorf
%$S_4$-gyel!

\item Határozzuk meg az $S_3$ csoport összes részcsoportját. Adjuk meg
mindegyikhez a bal és jobb oldali mellékosztályokat.

\setcounter{bak}{\value{enumi}}

\end{enumerate}

\textbf{HF}

\begin{enumerate}

\setcounter{enumi}{\value{bak}}

\item A $G$ csoport $e$ egységére és $x,y$ elemeire $x^2=e$ és
     $xyx^{-1}=y^3$. Bizonyítsuk be, hogy $y^8=e$.

\end{enumerate}

\end{document}
