Bevezetés a számításelméletbe II.

11. gyakorlat, 2005. április 29.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Csoportok

122. Félcsoportot alkotnak-e az alábbi R halmazok a ∘ műveletre nézve? Melyik csoport? Melyik Abel-csoport? (a) R = a síkvektorok halmaza v ∘ w = v + w

(b) R = n × n-es nemszinguláris mátrixok, A ∘ B = AB.

123. Értelmezzük az egész számok halmazán az a ⋆ b = a + b + 1 képlettel megadott műveletet. Mutasd meg, hogy (ℤ, ⋆) csoport. Milyen korábbról ismert csoporttal izomorf (ℤ, ⋆)?

124. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számhoz található n elemű csoport, és hogy végtelen sok n-re teljesül, hogy az n elemű csoportok izomorfak.

125. Bizonyítsuk be, hogy ha egy G csoportban minden elem rendje 2, akkor G kommutatív csoport.

126. Lássuk be, hogy ha a és b egy csoport elemei, akkor a^{−1}ba rendje megegyezik b rendjével.

127. A G csoport a, b és c elemei különböznek az e egységtől és a^{3} = b^{5} = c^{7} = e. Lássuk be, hogy G-nek legalább 100 eleme van.

128. Adjuk meg az összes 1, 2, 3, illetve 4 elemű nem izomorf csoport művelettábáját.

129. Legyen G egy csoport és a, b ∈ G. Ekkor bizonyítsuk be, hogy (a) o(a) = o(a^{−1}) ;

(b) o(ab) = o(ba) ;

(c) o(a) = o(b^{−1}ab) ;

(d) ha G Abel-csoport, akkor o(ab) ≤ o(a)o(b) .

130. Legyen G egy csoport, és G_{1} ≤ G, G_{2} ≤ G. Ekkor igaz-e, hogy (a) G_{1} ∪ G_{2} ≤ G;

(b) G_{1} ∩ G_{2} ≤ G?

131. Hány részcsoportja van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

132. Van-e olyan 20 elemű csoport, amelyben

(a) van 5 rendű elem, de nincs 20 rendű elem;  (b) van 20 rendű elem, de nincs 5 rendű elem?

133. Bizonyítsuk be, hogy minden k pozitív egész szám esetén létezik olyan csoport, amelynek pontosan k darab részcsoportja van!

134. Egy csoport rendje 81 és van olyan eleme, melynek 27. hatványa nem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív.

135. Tekintsünk egy páratlan rendű Abel-csoportot, melyben a műveletet összeadásnak nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy az összes elem összege 0.

136. Írjuk fel az ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 6 & 5 & 2 & 8 \end{matrix} ) permutáció ciklusfelbontását! Számoljuk ki a második, harmadik ill. negyedik hatványát a ciklusfelbontás alapján! Mi az a legkisebb n, amelyre ezen permutáció n-edik hatványa az identitás?

137. Igazold, hogy a következő halmazok S_{n}-nek generátorrrendszerei:

(a) {(1 2), (1 3), …, (1 n)}; (b) {(1 2), (2 3), …, (n − 1 n)}; (c) {(1 2), (1 2 3 … n)}.

138. Bizonyítsd be, hogy a páros permutációk egy részcsoportot alkotnak S_{n}-ben!

139. Határozzuk meg az S_{3} csoport összes részcsoportját. Adjuk meg mindegyikhez a bal és jobb oldali mellékosz-

tályokat. HF

140. A G csoport e egységére és x, y elemeire x^{2} = e és xyx^{−1} = y^{3}. Bizonyítsuk be, hogy y^{8} = e.